Begründen Sie, dass die Schar keine zueinander parallelen Ebenen enthält.
Eine Ebene mit dem Parameter a hat den Normalenvektor \( \begin{pmatrix} a\\a-2\\1 \end{pmatrix} \).
Eine Ebene mit einem anderen Parameter (nennen wir ihn b) hätte den Normalenvektor \( \begin{pmatrix} b\\b-2\\1 \end{pmatrix} \). Wenn es in der Schar Parallelebenen geben würde, müsste es zwei verschiedene Werte a, b so geben, dass \( \begin{pmatrix} b\\b-2\\1 \end{pmatrix} \) ein Vielfaches von \( \begin{pmatrix} a\\a-2\\1 \end{pmatrix} \) ist. Zeige, dass das nicht möglich ist.
Bestimmen Sie den Wert a so, dass der Abstand von P(0/0/1) zu Ea maximal ist.
Den Abstand einer beliebigen Ebene der Schar zum Punkt P findet man, indem man eine Gerade durch den Punkt P aufstellt, die senkrecht zu E verläuft. Diese Gerade schneidet E in einem Punkt S, und der Abstand PS entspricht dann dem Abstand von P zu E.
Die genannte Gerade hat die Gleichung \(\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} a\\a-2\\1 \end{pmatrix}\). Für den Schnittpunkt mit der Ebene muss a(0+at)+(a-2)(0+(a-2)t)+(1+t)=4 gelten.
Ausmultiplizieren liefert
(2a²-4a+2)t+1=4. Das lässt sich nach t umstellen, mit diesem t lässt sich S bestimmen, daraus kann der Abstand von S zu P in Abhängigkeit von a bestimmt werden. Dieser Abstand ist zu minimieren.
PS: (Hier stand etwas nicht zielführendes. Sinnvoll wäre allenfalls noch, nach einer gemeinsame Schnittgerade aller Scharebenen zu suchen.)
