Symmetrie von ganzrationalen Funktionen berechnen

Question

Aufgabe:

ich soll die symmetrie folgender funktionen berechnen

a) (x+2 ) (x-2)

b) x⁶-6x²+1,73

Problem/Ansatz:

Lösungsweg wäre ganz toll um den vorgan nachzuvollziehen

Answer 1

Aloha :)

a)$\quad f(x)=(x+2)(x-2)=x^2-4$

b)$\quad g(x)=x^6-6x^2+1,73$

Beide Funktionen sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Das erkennt man daran, dass die Potenzen der $x$ alle gerade sind. Wären die Potenzen alle ungerade, läge eine Punktsymmetrie zum Ursprung vor. Bei gemischten Potenzen liegt keine Symmetrie zur $y$-Achse oder zum Urpsrung vor.

Du kannst das auch ganz formal beweisen:$$f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)$$$$\quad\leadsto\quad\text{Achsensymmetrie}$$$$g(-x)=(-x)^6-6(-x)^2+1,73=x^6-6x^2+1,73=g(x)$$$$\quad\leadsto\quad\text{Achsensymmetrie}$$

Answer 2

Easy,

hier muss man für x den Ausdruck -x einsetzen und kucken, was passiert: Ändert der Gesamtausdruck sein Vorzeichen oder nicht?

Grüße

Mister

Comments

Das  muss man bei beliebigen Funktionen machen. Bei ganzrationalen Funktionen ist das Vorgehen wesentlich einfacher.

Answer 3

a) f(x)=1x² +0x¹ -4x⁰ .

b) f(x)= 1x⁶ + 0x⁵ +0x⁴ +0x³ -6x² +0x¹ +1,73x⁰

Ganzrationale Funktionen sind genau dann symmetrisch zur y-Achse, wenn nur Potenzen mit geraden Exponenten vorkommen, also wenn alle Potenzen mit ungeraden Exponenten der Vorfaktor 0 haben.