Frage zu metrischen Räumen

Question

ich versuche gerade mir selber etwas Ana 2 beizubringen (deshalb schon mal entschudigung im Voraus, falls diese Frage komplett selbsterklärend ist). Es geht um diese Aufgabe, zu der ich auch die Lösung habe:

\( d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto d(x, y):=|\arctan x-\arctan y| \)

Untersuchen Sie (z.B. anhand der Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( x_{n}=n \) ), ob ( \( \mathbb{R}, d \) ) mit der oben definierten Metrik \( d \) vollständig ist. Formulieren Sie eine Behauptung und begründen Sie
diese.

Beh: \({\prime}(\mathbb{R}, d) \) ist nicht vollständig.
Bew: \( \left(x_{n}\right) \) wie angegeben ist Cauchy.
denn \( =\operatorname{d}\left(x_{n } x_{m }\right)= |\operatorname{arctan}\left(x_{n}\right)-\arctan \left(x_{m}\right) | \)
\( \leqslant \frac{\pi}{2}-\operatorname{arctan}\left(x_{n}\right)+\frac{\pi}{2}-\arctan \left(x_{m}\right) \)-->0

Aber \( \left(x_{n}\right) \) ist divergent.

Mit metrischen Räumen habe ich mich schon etwas beschäftigt, allerdings leuchtet mir hier nicht wirklich ein, was hier gemacht wurde.

Aber was mich am meisten verwundert, warum ist x_n=n eine Cauchy Folge? Und was soll es heißen, dass zuerst gesagt wird, dass x_n=n eine Cauchy Folge ist und sich nachher herausstellt, dass diese divergiert?

Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte (bzw. mir sagen könnte, was ich explizit für Themen lernen müsste, um die Aufgabe zu verstehen)

MfG

Pizzaboss

Answer 1

Zunächst die wesentlichen Definitionen:

Defintion (konvergente Folge). Eine Folge (x_n)_n∈ℕ über einem metrischen Raum (X, d) heißt konvergent, wenn es ein x ∈ X gibt, so dass gilt:

        ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ ∀ n > N: d(x, x_n) < ε.

Definition (Cauchy-Folge). Eine Folge (x_n)_n∈ℕ über einem metrischen Raum (X, d) heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

        ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ ∀ m,n > N: d(x_n, x_m) < ε.

Definition (vollständiger Raum). Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn alle Cauchy-Folgen konvergieren.

warum ist x_n=n eine Cauchy Folge?

Es gilt

(1)        lim_x→∞ arctan(x) = π/2.

Sei ε > 0. Sei N ∈ℕ, so dass |π/2 - arctan(n)|  < ε/2 für alle n > N gilt. Ein solches N existiert wegen (1).

Seien n, m > N. Dann ist

        d(n,m) = |arctan(n) - arctan(m)|
                  = |(arctan(n) - π/2) - (arctan(m) - π/2)|
                  = |(arctan(n) - π/2) + (π/2 - arctan(m))|
                  ≤ |arctan(n) - π/2| + |π/2 - arctan(m)|        (wegen Dreiecksungleichung)
                  = |π/2 - arctan(n)| + |π/2 - arctan(m)|
                  < ε/2 + ε/2
                  = ε.

Und was soll es heißen, dass zuerst gesagt wird, dass xn=n eine Cauchy Folge ist und sich nachher herausstellt, dass diese divergiert?

Siehe obige Definition.

Comments

Zu zeigen ist natürlich noch, dass (x_n)_n∈ℕ divergent bezüglich d ist.

Dass (x_n)_n∈ℕ bezüglich der euklidischen Metrik divergent ist, ist klar. Das reicht aber nicht.