Hallo,
der Beweis beruht im Wesentlichen auf der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit in metrischen Räumen.
Zu 1)\(\Rightarrow\)2): Sei \(y\in f(\bar A)\), dann gibt es ein \(x\in\bar A\) mit \(y=f(x)\). Zudem existiert eine Folge \((x_n)_n\) in \(A\) mit \(x_n\to x\). Da \(f\) stetig ist gilt dann \(f(x_n) \to f(x)\). Da alle \(f(x_n)\in f(A)\) muss \(f(x)\in\overline{f(A)}\).
Zu 2)\(\Rightarrow\)1): Das ist etwas komplizierter. Aus Zeitgründen schreibe ich erstmal meine Ideen auf, ohne zu viele Details. Bei Nachfragen helfe ich gerne. Den Beweis mache ich per Widerspruch:
Sei \(x_n\to x\) eine Folge in \(X\) sodass \(f(x_n)\not\to f(x)\). D.h. $$\exists\varepsilon>0\forall N\exists n\geq N:\left|f(x_n)-f(x)\right|>\varepsilon$$
Wir konstruieren nun eine Teilfolge \((x_{n_k})_k\) von \((x_n)_n\) wie folgt:
\(n_1\) sei das kleinste \(n\in\mathbb N\) sodass \(\left|f(x_n)-f(x)\right|>\varepsilon\). \(n_{k+1}\) sei dann das kleinste \(n>n_k\) sodass \(\left|f(x_n)-f(x)\right|>\varepsilon \). Dann gilt \(x_{n_k}\to x\) für \(k\to\infty\).
Definiere nun \(B:=\{x_{n_k}\,|\,k\in\mathbb N\}\). Dann ist also \(x\in\bar B\) und somit \(f(x)\in f(\bar B)\). Nach Voraussetzung ist damit auch \(f(x)\in\overline{f(B)}\).
Das heißt aber, dass es eine Folge \((y_n)_n\) in \(B\) gibt mit \(y_n\to f(x)\). Aber nach Definition gilt für alle \(y_n\in B\) gerade \(\left|f(y_n)-f(x)\right|>\varepsilon\). Widerspruch
LG Dojima
