Punkte auf Seitenkanten eiener Pyramide bilden ein Quadrat, Flächeninhalt bestimmen

Question

Ich komme gerade bei einer Abituraufgabe beim Thema analytische Geometrie nicht weiter.

Von einer Pyramide sind folgende Eckpunkte gegeben:

A (2|0|1)

B (4|2|1)

C (2|4|1)

S (2|2|6)   (Spitze der Pyramide)

Die Aufgae dazu lautet: Auf jeder Seitenkante der Pyramide gibt es einen Punkt, der die Strecke von S zum jeweiligen Eckpunkt im Verhältnis a:b teilt. Diese Punkte bilden ein Quadrat. Bestimmen sie den Flächeninhalt dieses Quadrats.

Ich habe zwar die Lösung, doch ich verstehe den Ansatz dabei nicht. Wieso gilt für den Punkt P bzw. Q dieser Ortsvektor, wie kommt man auf die Formel?
Das ist die Lösung die habe:
Teilt P die Strecke SA und Q die Strecke SB im angegebenen Verhältnis, so gilt: \( \vec{OP} \) = \( \vec{OS} \)+ \( \frac{a}{a+b} \) ·\( \vec{SA} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\2\\6 \end{pmatrix} \)+ \( \frac{a}{a+b} \) · \( \begin{pmatrix} 0\\-2\\-5 \end{pmatrix} \)
\( \vec{OQ} \)= \( \vec{OS} \) + \( \frac{a}{a+b} \) · \( \vec{SB} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\2\\6 \end{pmatrix} \) + \( \frac{a}{a+b} \) ·\( \begin{pmatrix} 2\\0\\-5 \end{pmatrix} \)
\( \vec{PQ} \) = \( \frac{a}{a+b} \) ·\( \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \)  , Ι\( \vec{PQ} \)Ι = \( \frac{a}{a+b} \) ·√8
Damit ist der Flächeninhalt des Quadrats:8·(\( \frac{a}{a+b} \) )²

Comments

Es wundert mich sehr, dass es sich hier um eine Abituraufgabe handelt, die mit Vektorrechnung gelöst werden soll. Der viel einfachere Weg ist, den Strahlensatz anzuwenden.

Das erzeugte Quadrat verhält sich zur Grundfläche wie das Quadrat aus dem Verhältnis der Teilstrecke \(|SP|\) zur Gesamtstrecke \(|SA|\) bzw. von \(a\) zu \(a+b\). Die Diagonale \(d\) der Grundfläche \(G\) ist \(d=4\) - folglich ist \(G=\frac 12 d^2=8\) und die Fläche \(F\) des Quadrats in Abhängigkeit von \(a\) und \(b\) ist somit$$F(a,b) = 8 \cdot \left( \frac a{a+b}\right)^2 $$Da brauche ich wirklich keine Vektorrechnung. Und ich würde gerne wissen ob jemand, der diese Lösung abgegeben hat, Punktabzug bekommt.

Answer 1

Hallo Lyssa,

ich habe die Szene mal im Geoknecht3D eingegeben

dort siehst Du die (grüne) Pyramide mit ihren vier Seiten. Um einen Punkt \(P\) auf der Seite \(SA\) zu platzieren, betrachte ich die Gerade durch \(S\) und \(A\). Du kennst sicher die Punkt-Richtungsform einer Geraden \(g\) - allgemein ist$$g: \space \vec x = \vec s + t \cdot \vec r$$Wobei \(\vec s\) einen beliebigen Punkt auf der Geraden angibt - in unserem Fall ist das der Ortsvektor \(\vec{OS}\) (der grüne Vektor s.o.) und \(\vec r\) ist ein Vektor, der die Richtung von \(g\) beschreibt. Das \(\vec r\) ist unserem Fall \(\vec{SA}\). Das ist der rote Vektor, der von \(S\) nach \(A\) verläuft. \(\vec{SA}\) ist die Differenz der beiden Ortsvektoren \(\vec{OA}\) und \(\vec{OS}\):$$\vec{SA} = \vec{OA} - \vec{OS} = \begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ -2\\ -5\end{pmatrix}$$Somit ist die Gleichung der schwarzen Geraden$$\vec x = \vec{OS} + t \cdot \vec{SA}= \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0\\ -2\\ -5\end{pmatrix}$$Wenn \(t=0\) ist, befinde ich mich bei \(S\) und wenn \(t=1\)  ist, habe ich die volle Länge des roten Vektors \(\vec{SA}\) zurück gelegt und bin bei \(A\) angekommen. Teilt man nun die Strecke \(SA\) z.B. im Verhältnis 3:1, so befinden sich 3 Teilstücke oberhalb von \(P\) und 1 Teilstück gleicher Länge unterhalb - also zwischen \(P\) und \(A\). Macht \(3+1=4\) Teilstücke insgesamt. Somit hat man bis zum \(P(3:1)\) in der Skizze \(3/(3+1)=3/4\) der Strecke von \(S\) bis \(A\) zurück gelegt.

Ist dieses Teilerverhältnis \(a:b\) so kann man für \(t\) schreiben$$t = \frac a{a+b}$$Die vollständige Geradengleichung ist demnach$$\vec x = \vec{OS} + t \cdot \vec{SA}= \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 6\end{pmatrix} + \frac a{a+b} \cdot \begin{pmatrix}0\\ -2\\ -5\end{pmatrix}$$Die Geradengleichung durch \(SB\) entsteht in exakt derselben Weise.

Gruß Werner

PS.: klick auf das Bild, dann kannst Du Szene mit der Maus drehen und bekommst einen besseren räumlichen Eindruck.

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Danke für die ausführliche Antwort, jetzt habe ich es verstanden :-)

Answer 2

Allgemein bedeutet ja  X teilt die Strecke YZ im Verhältnis a:b dass

die Längen von  YX  und XZ in diesem Verhältnis stehen, also

|YX|  :  | XZ| = a:b    bzw  | YX | =   (a/b)  * |XZ|

In der analytischen Geometrie dann eher durch Vektoren ausgedrückt

$$\vec{YX} = \frac{a}{b}*\vec{YZ}$$

Hier also :

Teilt P die Strecke SA und Q die Strecke SB im angegebenen Verhältnis, so gilt:

$$\vec{SP} = \frac{a}{b}*\vec{PA}$$   und weil

$$\vec{SP} + \vec{PA}  = \vec{SA}   $$ bzw.

$$ \vec{PA}  =  \vec{SA}  - \vec{SP}  $$  ergibt sich

$$\vec{SP} = \frac{a}{b}*( \vec{SA}  - \vec{SP})$$    und daraus

$$\vec{SP} = \frac{a}{a+b}* \vec{SA} $$  und damit

$$\vec{SO}+\vec{OP} = \frac{a}{a+b}* \vec{SA} $$ und letztlich

$$\vec{OP} =\vec{OS} + \frac{a}{a+b}* \vec{SA} $$

Entsprechend für Q und SB.

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Okay, danke für die Hilfe dabei :-)