Was passiert mit dem Minus bei e^{-(-ln(cosx))}

Question

\( y_h =c \cdot e^{-\int \tan x ~dx} \)

\( y_h =c \cdot e^{ -(-\ln(\cos(x))) } \)

Was passiert mit dem Minus beim Exponenten beim Integrieren?

Answer 1

Das doppelte Minus hebt sich auf. Ebenso der ln und die e-Funktion

yh = c·EXP(LN(COS(x))) = c·COS(x)

Comments

Darauf bin ich auch gekommen, nur meine Lösung sagt:

Es ist die inhomogene Dgl \( y^{\prime}-y \cdot \tan x=2 \sin x \) zu lösen.

Lösung:

Zunächst muss wieder die zugehörige homogene Dgl \( y^{\prime}-y \cdot \tan x=0 \) gelöst werden.
(1) Auflisen nach \( y^{\prime}: \quad y^{\prime}=y \cdot \tan x \)
(2) Ersetzen von \( y^{\prime} \) durch den Differentialquotienten: \( \frac{d y}{d x}=y \cdot \tan x \)
(3) Trennung der Variablen:
$$ \frac{\mathrm{d} y}{y}=\tan x \mathrm{d} x $$
(4) Integration der beiden Seiten:
$$ \int \frac{d y}{y}=\int \tan x d x \Rightarrow \ln |y|=-\ln |\cos x|+\ln |C| $$
(5) Auflösen nach \( y \) nach vorherigem Potenzieren der Gleichung zur Basis e:
$$ y=\frac{C}{\cos x} $$

Ich habe nur den allgemeinen Lösungsweg angesetzt mit y=C*e^-G(x)

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Dort hast du aber auch nur ein Minus und nicht ein doppeltes was sich aufhebt.

yh = c·EXP(-LN(COS(x))) = c·EXP(LN(COS(x)^{-1})) = c·COS(x)^{-1} = c/COS(x)

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diesen Schritt verstehe ich nicht ganz

 

-LN(COS(x)=LN(COS(x)^-1

Gibt es dazu ein Rechengesetz? Ist mir leider nicht bekannt!

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Ja es gibt das Gesetz:

a*ln(b) = ln(b^a)

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danke für das ln Gesetz 

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Mir ist noch ein Fehler in der Allgemeinen Formel aufgefallen in 

yh = c·EXP(-LN(COS(x)))

Es fehlt ein Minus 

yh = c·EXP-(-LN(COS(x)))

Ich denke ich habe aber meinen eigentlichen Fehler gefunden:

ich muss für g(x)=-tanx wählen ich hatte ursprünglich g(x)=+tanx gewählt -->und das ist falsch (bin mir aber nicht 100% sicher, werde es nochmal separat im hier im Forum erfragen) 

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hier noch der Querverweis:

https://www.mathelounge.de/71390/was-wahle-ich-bei-einer-homogenen-dgl-nach-allgemeiner-formel