Spurgerade einer Ebene berechnen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Spurgeraden der Ebene: E: 2x-y+3z=0

Problem/Ansatz:

Ich weiß wie ich die Spurgeraden einer Ebene in Parameterform berechne, aber die Ebene oben ist eine Koordinatenform. Muss ich sie in Parameterform umwandeln, oder kann ich auch direkt mit der Koordinatenform die Spurgeraden herausfinden?

Answer 1

E: 2x - y + 3z = 0

Was hältst du von

- y + 3z = 0 und x = 0
2x + 3z = 0 und y = 0
2x - y = 0 und z = 0

Kannst du die Geraden jetzt auch noch in Parameterform aufstellen. Ich mache das mal bei der ersten vor:

g: - y + 3z = 0 und x = 0 → g: X = r·[0, 3, 1]

Comments

 Sind jetzt die Spurgeraden bei  x, y und z alle 0?

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Wie sind denn die Spurgeraden einer Ebene definiert? Weißt du das?

Answer 2

Du hast in dem Moment fast schon die Spurgeraden, wenn du die Schnittpunkte der Ebene mit den drei Koordinatenachsen berechnet hast. (Dann musst du ja nur nach die Gerade durch je zwei der drei Punkte -falls sie existieren- hindurchlegen.)

Hier bei 2x-y+3z=0 enthält die Ebene den Ursprung, damit fallen alle drei Achsenschnittpunkte zusammen. Du brauchst also neben dem Ursprung noch einen weiteren Punkt (für die Spurgerade in der x-y-Ebene also noch einen Punkt, dessen z-Koordinate 0 ist und dessen übrige Koordinaten die Gleichung 2x-y+3·0=0 erfüllen).

Das gilt z.B. für x=5 und y=10, einfacher noch für x=1 und y=2. Die Spurgerade mit der x-y-Ebene vorläuft also durch (0|0|0) und (1|2|0).

Answer 3

Hallo,

Die Ebene ist in der Normalform gegeben $$E: \space \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 3\end{pmatrix} \cdot \vec x = 0$$Für die Spurgerade in der XY-Ebene müssen alle Z-Koordinaten 0 sein. Setze also zunächst die Z-Koordinate auf 0

und Du erhältst den Vektor \(n_{xy}\) $$\vec n_{xy} = \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}$$ Jetzt benötigt man für die Punkt-Richtungs-Form der gesuchten Spurgeraden \(s_{xy}\) einen Vektor, der auch in der XY-Ebene liegt und senkrecht auf \(\vec n_{xy}\) steht (s. Bild). Einen orthogonalen Vektor erhältst Du immer indem Du zwei Koordinaten vertauscht und eine der beiden negierst. Also ist hier dann der Richtungsvektor \(r\) z.B.: $$\vec n_{xy} = \begin{pmatrix} \colorbox{#ffff00}{2}\\ \colorbox{#88ff88}{-1}\\ 0\end{pmatrix} \to \vec r =  \begin{pmatrix} \colorbox{#88ff88}{+1}\\ \colorbox{#ffff00}{2} \\ 0\end{pmatrix} $$Und da der Ursprung in der Ebene liegt, müssen auch alle Spurgeraden da durch. Folglich ist die Spurgerade in der XY-Ebene$$s_{xy}: \space \vec x = t \cdot \begin{pmatrix} {+1}\\  2 \\ 0\end{pmatrix}$$Mit den anderen beiden Spurgeraden läuft es natürlich genauso.

Gruß Werner

(klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus drehen)

Answer 4

Eine Ebene schneidet im Normalfall alle 3 Koordinatenachsen.

1) Px(x/0/0)

2) Py(o/y/0)Ebene

3) Pz(0/0/z)

Die Spurgeraden sind dann

gxz  von Punkt auf der x-Achse nach Punkt auf der z-Achse

gxy von Punkt auf der x-Achse nach Punkt auf der y-Achse

gyz von Punkt auf der y-Achse nach Punkt auf der z-Achse

1) Schritt: die Punkte von 1),2) und 3) berechnen

E: 2*x-1*y+3*z+0=0  hier ein Sonderfall d=0

E: a*x+b*y+c*z+d=0  mit d=0  Ebene geht durch den Ursprung P(0/0/0)

Px(x/0/0)   eingesetzt 2*x-1*0+3*0+0=0  also Px(0/0/0)

Py(0/y/0) eingesetzt 2*0-1*y+3*0=0 also Py(0/0/0)(

Pz(0/0/z eingesetzt 2*0-1*0+3*z=0 also Pz(0/0/0)

Gerade g: x=a+r*m

gxz → x=(0/0/0)+r*(mx/my/mz)    Px(0/0/0)  und Pz(0/0/0)

(0/0/0)=(0/0/0)r*(mx/my/mz)

x-Richtung: 0=0+1*mx) ergibt mx=(0-0)/1=0

my=(0-0)/1=0

mz=(0-0)/1=0

Ergebnis:Es gibt keine Surgeraden,weil die Ebene durch den Ursprung geht.

Comments

Entscheide dich doch mal, was du willst.

Viele deiner bisherigen Beiträge waren inhaltliche Wiederholungen dessen, was andere vorher schon als Lösung angeboten haben. Da ist dann zwar inhaltlich kein großer Mehrwert dabei,  aber du bemühst dich, durch dezent eingesetzten Fettdruck Wesentliches aus den anderen Beiträgen noch einmal zusammenfassend hervorzuheben - okay.

Dann habe ich in anderen Beiträgen von dir den Eindruck, dass du überhaupt nicht liest, was schon geantwortet wurde. Die Existenz der Spurgeraden wurde bereits klar herausgearbeitet.

Es ist doch lediglich so, dass die (im Allgemeinfall auch von mir favorisierte und vor 2 Stunden vorgestellte) Methode der Achsenschnittpunkte hier nicht greift.