Definition Quadratwurzel (x^2)... Wieso Betrag?

Question

Liebe Lounge,

ich beschäftige mich mit der Frage, weshalb die Quadratwurzel von x^2 gerade als abs(x) definiert ist.

Mein Ansatz wäre, wenn man z.B. folgende Gleichung betrachtet:

(x-1)² = 4

Wenn man jetzt auf beiden Seiten die Wurzelfunktion anwendet, dann bekommt man auf der rechten Seite ja √4=2 heraus, denn so ist die Wurzel einer nichtnegativen Zahl ja definiert.

Betrachten wir jetzt die linke Seite der Gleichung, also den Ausdruck (x-1)². Dieser Ausdruck ist ≥0, weshalb wir die Wurzelfunktion darauf anwenden dürfen. Die Funktion "wirft" und jetzt den Term heraus, welcher quadriert (x-1)² ergibt und nicht negativ ist. Um jetzt zu vermeiden, dass (x-1) negativ wird, setzt man den Ausdruck in den Absolutbetrag, also abs(x-1).

Das wir entscheidend, wenn x<1 wird. Damit die Gleichung dann immer noch stimmt, muss dann der entstehende Graph an der x-Achse gespiegelt werden, also -(x-1)=-x+1.

Um die obige Gleichung zu lösen, formal korrekt also:

(x-1)² = 4   I√

I (x-1) I = 2     Fallunterscheidung

Für x≥1: x-1=2  <--> x₁=3

Für x<1: -x+1=2 <-->x₂=-1

L= {-1;3}

Passt das so ihr Lieben?

Vielen Dank für eure Antwort. Bleibt gesund!

Answer 1

(x-1)^2 = 4

x-1 = ±2

x1= 3

x2 = -1

Eine Fallunterscheidung ist nicht notwendig.

Die Lösung ergibt sich unmittlbar.

Answer 2

√(x^2) = |x|

Da beide Seiten der Gleichung positiv sind, darf man beide Seiten quardieren

x^2 = |x|^2

Diese Gleichung ist erfüllt weil

x^2 = (-x)^2 = |x|^2

gilt.

Comments

Ja. Ich frage mich nur, ob meine verbalisierte Erklärung für euch auch Sinn ergibt?

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Du benutzt dass x^2 = |x|^2 stimmt aber du weißt es damit nicht explizit nach.

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Das verstehe ich nicht...?

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Ich bräuchte die Stelle, an welcher es "nicht mehr nachgewiesen" ist...

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Ich bräuchte die Stelle, an welcher es "nicht mehr nachgewiesen" ist...

Es ist in keiner deiner Zeilen nachgewiesen.

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Hmm. Könntest du mir dann bitte mal mit der Zitatfunktion den Teil an der richtigen Stelle einfügen, damit es trotz der „Worte“ passt...?

Answer 3

weshalb die Quadratwurzel von x² gerade als abs(x) definiert ist.

Wie möchtest du es denn sonst definiert haben?

Ich vermute mal, du würdest gerne \(\sqrt{x^2}=x\) haben. Das führt zu Problemen. Dann wäre nämlich

        \(5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = \sqrt{(-5)^2} = -5\).

mit der vorhandenen Definition ist hingegen

        \(\sqrt{25} = \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5\).

Comments

Nein. Ich sehe das schon ein.

Die Frage war eher, ob meine verbalisierte Erklärung auch Sinn ergibt ?

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Ja, deine Erklärung ergibt Sinn und ich sollte die ganze Frage lesen bevor ich antworte.