0 Daumen
445 Aufrufe

Hallo,

folgende Aufgabe ist gegeben:

Eine Wettkampfsprinterin läuft die 100 m in 10,5 s. Angenommen die Beschleunigung beim Start betrage das 0,8-fache der Erdbeschleunigung, welche sie bis zum erreichen ihrer maximalen Geschwindigkeit beibehält. Mit dieser konstanten Maximalgeschwindigkeit läuft sie dann durchs Ziel.

a) Wie groß ist die Maximalgeschwindigkeit?

b) Wie lange beschleunigt sie?

c) Welchen Streckenabschnitt durchläuft sie beschleunigt und welchen mit ihrer konstanten Maximalgeschwindigkeit?

d) Ihre Kontrahentin zögert beim Start 0,2 Sekunden. Wie groß müsste ihre Anfangsbeschleunigung sein um bei gleicher Maximalgeschwindigkeit noch als erstes ins Ziel zu gehen?

Bei der a) komme ich auf den Wert 10,13525875 m/s ; Bei der b) kommt 1,266907344 s ; Bei der c) kommt 6,420217283 m für die beschleunigte Strecke und 93,57978272 m für die unbeschleunigte Strecke.

Ich und meine Kommilitonen haben über mehrere Stunden, mehrere Ansätze für die d) versucht, sind aber immer gescheitert.

Falls jemand mir sagen könnte wie die d) funktioniert, wäre ich sehr dankbar: :)

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Hallo,

ich habe bei den Aufgaben a) bis c) leicht unterschiedliche Ergebnisse (vermutlich Rundung), aber ich schreibe meinen Lösungsweg trotzdem mal dazu, weil die d) recht ähnlich ist.

Sei \(t_B\) die Zeit, die beschleunigt wird. Es gilt dann: $$\underbrace{\frac{1}{2}\cdot 0,8\cdot g\cdot t_B^2}_{\text{Strecke, während dem Beschleunigen}}+\underbrace{v\cdot (10,5s-t_B)}_{\text{Strecke mit konstanter Geschwindigkeit}}=\underbrace{100m}_{\text{Gesamtstrecke}}.$$

\(v\) kann einfach ausgerechnet werden:

$$v=a\cdot t=0.8\cdot g\cdot t_B$$

Einsetzen und Umformen liefert:

$$\frac{1}{2}\cdot 0,8\cdot g\cdot t_B^2+0,8\cdot g\cdot t_B\cdot (10,5s-t_B)=100m$$

$$\Rightarrow t_B=\frac{-82,404+\sqrt{5220,819216}}{-7,848}$$

$$\Rightarrow t_B\approx1,293s; v_{\text{max}}\approx10,149\frac{m}{s}; s_B\approx 6,560m; s_k\approx93,440m$$

Versuchen wir nun eine allgemeine Formel für die Gesamtdauer abhängig von der Beschleunigung bei gleicher Maximalgeschwindigkeit zu finden:

$$\frac{1}{2}\cdot a\cdot t_B^2+a\cdot t_B\cdot (t_{\text{ges}}-t_B)=100m$$

Wir können \(t_B\) ausrechnen, schließlich gilt: \(v_{\text{max}}=a\cdot t_B\Rightarrow t_B=\frac{v_{\text{max}}}{a}\)

$$\Rightarrow\frac{1}{2}\cdot a\cdot(\frac{v_{\text{max}}}{a})^2+a\cdot \frac{v_{\text{max}}}{a}\cdot (t_{\text{ges}}-\frac{v_{\text{max}}}{a})=100m$$

Nach \(t_\text{ges}\) umstellen, liefert:

$$t_\text{ges}=\frac{v_\text{max}}{2\cdot a}+\frac{100m}{v_\text{max}}$$

Damit die Konkurrentin trotz den 0,2 Sekunden Verspätung gewinnt, muss gelten:

$$t_\text{gesK}+0,2s<t_\text{ges}$$

$$\Rightarrow\frac{v_\text{max}}{2\cdot a_K}+0,2s<\frac{v_\text{max}}{2\cdot 0,8\cdot g}$$

$$\Rightarrow a_K>\frac{20\cdot v_\text{max}}{\frac{25\cdot v_\text{max}}{g}-8}\approx11,363\frac{m}{s^2}$$

Gruß,

FDF

Avatar von

Sry, versehentlich auf Enter gedrückt, bearbeite die Antwort noch, dass es fertig ist.

Das v-t-Diagramm macht es deutlich :

Lauf.png

Text erkannt:

1
\( r \)


Die Läuferin und ihre Konkurrentin müssen bis zum Zeitpunkt t3 dieselbe Strecke zurückgelegt haben, das ist die Fläche unterhalb ihres jeweiligen Graphen.

Also muss vmax·t3 / 2   =   vmax·( (t3 - t1) + (t3 - t2) ) / 2  sein, woraus 
t1  =  t3 - t2   folgt  und sich für die Beschleunigungen Folgendes ergibt :

aL  =  vmax / t3  und 
aK  =  vmax / (t2 - t1)  =  aL·t3 / (t3-t1 - t1)  =  t3 / (t3 - 2·t1) * aL .

Die Verdeutlichung mit dem v-t-Diagramm ist wirklich toll, vielen Dank für die Ergänzung! :)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community