Funktionenscharen untersuchen - Aufgabe Feuerlöschfahrzeug

Question

Bei einem großen Feuerlöschfahrzeug ist auf dem Fahrzeugdach ein Wasserstrahirohr montiert.  Für den Verlauf des Wasserstrahis in Abhängigkeit von der Wassergeschwindigkeit v gilt näherungsweise

w_v(x)=1/2x + 7/2 - 5/v² * x²

(Eine Längeneinheit entspricht einem Meter, v in m/s, 0<v<=20, y=0 gibt das Bodenniveau an.)

Hier die Aufgaben dazu:

a) Unter welchem Winkel zur Horizontalen und in welcher Höhe über dem Boden wird das Wasser vom Strahlrohr ausgeworfen?

b) Bestimmen Sie die Wurfwelte des Wasserstrahls in Abhängigkeit vom Parameter v.

c) Bestimmen Sie die mit dem Wasserstrahl maximal erreichbare Höhe in Abhängigkeit von v.

d) Für welche Wassergeschwindigkeit beträgt die Wurfweite des Wasserstrahls 30m?

Answer 1

a) Unter welchem Winkel    zur Horizontalen und in welcher Höhe über dem Boden wird das Wasser vom Strahlrohr ausgeworfen?

fw' (0) = 1/2 also Winkel 45°   und w(0)=3,5 also in 3,5m Höhe

b) Bestimmen Sie die Wurfwelte des Wasserstrahls in Abhängigkeit vom Parameter v.

Strahl erreicht den Boden für  1/2x + 7/2 - 5/v2 * x^2 = 0

   Ich bekomme als pos. Lösung   v*( √(v^2 +280) + v ) / 200                                                

c) Bestimmen Sie die mit dem Wasserstrahl maximal erreichbare Höhe in Abhängigkeit von v.

   w ' (x) = 1/2 - 10/v^2 * x  = 0

                  <=>   1/2 = 10x / v^2

                    v^2 / 2 = 10x

                      v^2/20 = x

w(    v^2/20  ) = v^2 / 80 + 7/2     (maximale Höhe) 

d) Für welche Wassergeschwindigkeit beträgt die Wurfweite des Wasserstrahls 30m?   Ergebnis von b

gleich 30 setzen gibt v= 15,6 m/s