komplexe zahlen berechnen quotient

Question

Hallo kann mir hier jemand helfen?

z1=5+i5 und z3=12-i6

die aufgabe lautet z3/z1

bei mir kommt 30/50*i raus stimmt das?

mfg

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{z_3}{z_1}=\frac{12-6i}{5+5i}=\frac{12-6i}{5+5i}\cdot\frac{5-5i}{5-5i}=\frac{60-30i-60i+30i^2}{5^2-(5i)^2}$$$$\phantom{\frac{z_3}{z_1}}=\frac{60-30i-60i-30}{25-25i^2}=\frac{30-90i}{50}=\frac{3}{5}-\frac{9}{5}i$$

Comments

danke für die schnelle antwort, aber ich hab noch eine frage

Ich habe die formel für die aufgabe angewendet wieso krieg ich da was falsches raus

also ich habe nicht komplex konjugiert erweitert

mfg

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Um den Nenner reell zu machen, erweitert man den Bruch mit dem komplex Konjugierten des Nenners. Mit der dritten binomischen Formel fallen dann die \(i\)-Terme weg und es bleiben nur die quadratischen Terme über.

Leider kenne ich deine Rechnung nicht, sonst könnten wir mal schauen, wo du dich vertan hast.

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also ich hab die ganz lange formel verwendet:

a1a2+b1b2/a2^2+b2^2 +a2b1-a1b2/a2^2+b2^2 * i

und gegeben war ja z1=5+i5 und z3=12-i6

dann hab ich für a1=12 und b1=6 und für a2=5 und b2=5

die werte habe ich dann in die formel eingeben und dann kam bei mir 30/50 * i raus

frage: muss man immer bei einer aufgabe wo man einen bruch hat komplex konjugiert erweitern?

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Die Formel habe ich gerade mal ausgerechnet und dasselbe raus wie deine Formel:$$\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}\,i$$

Ahh, ich seh den Fehler, du hast ein Minuszeichen bei \(b_1\) übersehen:$$a_1=12\quad;\quad b_1=-6\quad;\quad a_2=5\quad;\quad b_2=5$$

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sollte man ihrer meinung nach immer komplex konjugiert erweitern bei bruch aufgaben?

ich hatte in meiner aufgabe mit -6 gerechnet hab allerdings vergessen sie hier reinzuschreiben

wenn ich die werte so eingebe wie sie es auch aufgeschrieben haben kommt immer noch 30/50 raus ist das falsch?

mfg und danke

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Das Erweitern mit dem komplex Konjugierten des Nenners finde ich persönlich einfacher. Die lange Formel würde ich bestimmt schnell wieder vergessen. Aber das muss jeder für sich selbst entscheiden. Beide Wege führen zum Ziel ;)

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ich hatte in meiner aufgabe mit -6 gerechnet hab allerdings vergessen sie hier reinzuschreiben

wenn ich die werte so eingebe wie sie es auch aufgeschrieben haben kommt immer noch 30/50 raus ist das falsch?

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können sie mir helfen, bitte?

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Ich setze das auch mal ein. Vergleich das mal bitte mit deiner Rechnung:

$$\frac{12\cdot 5+(-6)\cdot5}{5^2+5^2}+\frac{5\cdot(-6)-12\cdot 5}{5^2+5^2}\,i$$$$=\frac{60-30}{50}+\frac{-30-60}{50}\,i$$$$=\frac{30}{50}+\frac{-90}{50}\,i$$$$=\frac{3}{5}-\frac{9}{5}\,i$$

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Ich danke Ihnen! Habe meinen Fehler gefunden. Aber wie kommen sie auf 3/5 und -9/5 am ende? genügt 30/50 -90/50 i nicht?

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Doch das würde wohl reichen, aber man kann beide Brüche wunderbar mit 10 kürzen. Da konnte ich einfach nicht widerstehen :)

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Ich habs mir schon denken können :D

Vielen Dank für Ihre schnellen Antworten!!