Ebenenbüschel aus Gerade konstruieren Ebene E und H

Question

Die Ebenen E und H schneiden sich in der Gerade g mit x -> = (-1/0/4) + r * (2/-1/-3)

Eine Schar von Ebenen, die alle durch ein und dieselbe Gerade durchgehen, heißt Ebenenbüschel. Bestimmen Sie eine Gleichung eines Ebenenbüschels, das E und H enthält.

E: x-y+z = 3

H: 4x+5y+z = 0

Answer 1

Vergleiche zunächst E und H. Worin ähneln sich die Ebenengleichungen Worin unterscheiden sie sich.

Stelle jetzt ein Ebenenbuschel auf welches alle Punkte der Gerade beinhaltet. Der Normalenvektor müsste dabei senkrecht zur Gerade stehen oder? Das kann dann nicht mehr so schwer sein. Ich vermute

a·x + b·y + z = d

hier die gerade g einsetzen

a·(2·r-1) + b·(-r) + 4 - 3·r = d
2·a·r - a - b·r - 3·r + 4 = d

r muss sich rausheben

2·a - b - 3 = 0 --> b = 2·a - 3

nun noch b einsetzen

2·a·r - a - (2·a - 3)·r - 3·r + 4 = d
4 - a = d

Das Ebenenbüschel lautet also

B: a·x + (2·a - 3)·y + z = 4 - a