Kann der Grenzwert einer Reihe mit nur positiven Einträgen auch kleiner 1 sein?

Question

Meine Frage ist, wenn ich eine Reihe habe die konvergent ist und jeder Eintrag der dazugehörigen Folge positiv ist (nur Folgen aus Reellen Zahle), ist der Grenzwert dann immer ≥ 1?

Also eine Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{|x|} \) < ∞

Ich denke hierbei aber nur an Reihen die gegen unendlich gehen.

Wenn das der Fall ist, wie könnte man das beweisen?

Grüße

Comments

Positiv ist eine Zahl > 0 nicht > 1.

Answer 1

Aloha :)$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\quad\Rightarrow\quad\sum\limits_{n=0}^\infty\underbrace{\frac{1}{3\cdot2^n}}_{>0}=\frac{2}{3}<1$$

Comments

Danke, hab auch an die Geometrische Reihe gedacht aber nicht an eine Konstante die man aus der Summe ziehen kann ^^

Answer 2

Es gibt zu jeder positiven Zahl A konvergente unendliche Reihen (auch solche aus lauter positiven Summanden), deren Summe gleich A ist. Dabei spielt es keine Rolle, ob A größer, gleich oder kleiner als 1 ist.

Es wäre leicht, Beispiele anzugeben.

Mit der Angabe "Ich denke hierbei aber nur an Reihen die gegen unendlich gehen." hast du vermutlich gemeint, dass die Reihen aus unendlich vielen Gliedern (Summanden) bestehen sollen. (Normalerweise meint man aber mit einer "Reihe, die gegen unendlich geht", eine divergente Reihe, also eine mit unendlicher Summe !)

Comments

Mein Fehler, ja meinte eine Reihe mit unendlich vielen Summanden.

Answer 3

$$ \sum\limits_{k=1}^\infty 0.1^k=0.\overline 1=\frac{1}{9} $$