Zeigen sie das f schiefsymmetrisch ist

Question

Gegeben ist eine schiefsymmetrische Matrix A∈M(n×n,K), das heißt,für A gilt A^T=−A. Wir definieren eine Abbildung f:Rⁿ×Rⁿ→R mit f(x,y) :=x^TAy.

ich soll zeigen das f schiefsymmetrisch ist, aber ich weiß nicht wie genau.

Answer 1

Wann ist eine Bilinearform denn schiefsymmetrisch?

Comments

na wenn für alle v = (v1; .. ; v_n)∈ Vⁿ  gilt:
f(v₁;..; v_i; .., v_j ;..; v_n) = -f(v₁;..; v_j ;...; v_i;...; v_n); falls i ≠ j:

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Bei einer Bilinearform ist jetzt n = 2, d.h.

f(x,y) = -f(y,x) soll gezeigt werden.

$f(x,y) = x^TAy$

$-f(y,x) = -y^TAx$

Was erhältst du jetzt wenn du das Produkt (betrachte es mal als Produkt von Matrizen) $-y^TAx$ transponierst (also $(-y^TAx)^T$)? Ändert sich dadurch der Wert von $-f(y,x)$?

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na der x und y-Wert wird getauscht oder?

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$(-y^TAx)^T = -x^TA^Ty$. Was kannst du jetzt verwenden?

Ändert sich dadurch der Wert von −f(y,x)?

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na kann ich A^T=-A verwenden ?

(-y^TAx)^T=-x^T-Ay = -(x^TAy)

naja das ist das selbe wie  f(x,y)=x^TAy 

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na kann ich AT=-A verwenden ?

Richtig!

$(-y^TAx)^T=-x^T(-A)y = -(x^TAy)$

Hier ist ein Minus zu viel.

naja das ist das selbe wie $f(x,y)=x^TAy$ 

Genau (zumindest modulo Vorzeichen :D, aber das korrigierst du jetzt noch schnell), also weißt du jetzt, dass $f(x,y) = (-f(y,x))^T$ ist, aber warum gilt

$$(-f(y,x))^T = -f(y,x)$$

? Wenn du das noch begründest bist du fertig ;)

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Hier ist ein Minus zu viel.

Warum? hab doch bloß eingesetzt

ich weiß es ehrlich nicht, denn T steht ja für Transpositon und das heißt tausch von 2 Elementen.

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Warum? hab doch bloß eingesetzt

Ja aber schau mal: Du setzt hier $(-y^TAx)^T = -x^TA^Ty$ die Voraussetzung $A^T = - A$ ein und erhältst $-x^T(-A)y$. Die 2 Minus heben sich auf und übrig bleibt $x^TAy$ und nicht $-x^TAy$

ich weiß es ehrlich nicht, denn T steht ja für Transpositon und das heißt tausch von 2 Elementen.

-f(y,x) ist eine reelle Zahl, das kannst du auch als 1x1 Matrix auffassen, was passiert wenn du eine 1x1 Matrix transponierst?

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-f(y,x) ist eine reelle Zahl, das kannst du auch als 1x1 Matrix auffassen, was passiert wenn du eine 1x1 Matrix transponierst?

na die Zeilen und Spalten vertauschen sich.

Also gilt das:  A=−AT, so nennt man die Matrix antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch.

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Mit antisymmetrisch und schiefsymmetrisch hat das nichts zu tun:

Du hast eine 1x1 Matrix $A = (a_{11})$ was ist $A^T$?

Und dann beachte halt, dass wenn du x, y und A als Matrizen auffasst

$$x^TAy = (f(x,y))$$

eine 1x1 Matrix mit dem Eintrag $f(x,y)$ ist und andererseits auch

$$x^TAy = (-f(y,x))^T$$

gilt. hier kommt das Transponierte der 1x1 Matrix mit dem Eintrag $-f(y,x)$ raus. Es gilt also $(f(x,y)) = (-f(y,x))^T = ~?$. Und zwei Matrizen sind gleich wenn ihre Einträge gleich sind, was folgerst du also?

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na bei einer 1x1 Matrix bleibt das doch bei A^T=a11?

Und zwei Matrizen sind gleich wenn ihre Einträge gleich sind, was folgerst du also

na dann ist es gleich 0? also alternierend?

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na bei einer 1x1 Matrix bleibt das doch bei AT=a11?

Ja genau!

Also ist

$(f(x,y)) = (-f(y,x))^T = (-f(y,x))$

 $\implies f(x,y)=-f(y,x)$

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Dankeschön für deine Geduld !

War es das dann ?

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Wie hast du die Aufgabe mathematisch korrekt verfasst?