Zeigen sie das f schiefsymmetrisch ist

Question

Gegeben ist eine schiefsymmetrische Matrix A∈M(n×n,K), das heißt,für A gilt A^T=−A. Wir definieren eine Abbildung f:Rⁿ×Rⁿ→R mit f(x,y) :=x^TAy.

ich soll zeigen das f schiefsymmetrisch ist, aber ich weiß nicht wie genau.

Answer 1

Wann ist eine Bilinearform denn schiefsymmetrisch?

Comments

na wenn für alle v = (v1; .. ; v_n)∈ Vⁿ  gilt:
f(v₁;..; v_i; .., v_j ;..; v_n) = -f(v₁;..; v_j ;...; v_i;...; v_n); falls i ≠ j:

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Bei einer Bilinearform ist jetzt n = 2, d.h.

f(x,y) = -f(y,x) soll gezeigt werden.

\( f(x,y) = x^TAy \)

\( -f(y,x) = -y^TAx \)

Was erhältst du jetzt wenn du das Produkt (betrachte es mal als Produkt von Matrizen) \( -y^TAx \) transponierst (also \( (-y^TAx)^T\))? Ändert sich dadurch der Wert von \( -f(y,x) \)?

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na der x und y-Wert wird getauscht oder?

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\( (-y^TAx)^T = -x^TA^Ty \). Was kannst du jetzt verwenden?

Ändert sich dadurch der Wert von −f(y,x)?

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na kann ich A^T=-A verwenden ?

(-y^TAx)^T=-x^T-Ay = -(x^TAy)

naja das ist das selbe wie  f(x,y)=x^TAy 

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na kann ich AT=-A verwenden ?

Richtig!

\( (-y^TAx)^T=-x^T(-A)y = -(x^TAy) \)

Hier ist ein Minus zu viel.

naja das ist das selbe wie \( f(x,y)=x^TAy \) 

Genau (zumindest modulo Vorzeichen :D, aber das korrigierst du jetzt noch schnell), also weißt du jetzt, dass \( f(x,y) = (-f(y,x))^T \) ist, aber warum gilt

$$ (-f(y,x))^T = -f(y,x) $$

? Wenn du das noch begründest bist du fertig ;)

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Hier ist ein Minus zu viel.

Warum? hab doch bloß eingesetzt

ich weiß es ehrlich nicht, denn T steht ja für Transpositon und das heißt tausch von 2 Elementen.

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Warum? hab doch bloß eingesetzt

Ja aber schau mal: Du setzt hier \( (-y^TAx)^T = -x^TA^Ty \) die Voraussetzung \( A^T = - A \) ein und erhältst \( -x^T(-A)y \). Die 2 Minus heben sich auf und übrig bleibt \( x^TAy \) und nicht \( -x^TAy \)

ich weiß es ehrlich nicht, denn T steht ja für Transpositon und das heißt tausch von 2 Elementen.

-f(y,x) ist eine reelle Zahl, das kannst du auch als 1x1 Matrix auffassen, was passiert wenn du eine 1x1 Matrix transponierst?

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-f(y,x) ist eine reelle Zahl, das kannst du auch als 1x1 Matrix auffassen, was passiert wenn du eine 1x1 Matrix transponierst?

na die Zeilen und Spalten vertauschen sich.

Also gilt das:  A=−AT, so nennt man die Matrix antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch.

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Mit antisymmetrisch und schiefsymmetrisch hat das nichts zu tun:

Du hast eine 1x1 Matrix \( A = (a_{11}) \) was ist \( A^T \)?

Und dann beachte halt, dass wenn du x, y und A als Matrizen auffasst

$$ x^TAy = (f(x,y)) $$

eine 1x1 Matrix mit dem Eintrag \( f(x,y) \) ist und andererseits auch

$$ x^TAy = (-f(y,x))^T $$

gilt. hier kommt das Transponierte der 1x1 Matrix mit dem Eintrag \( -f(y,x) \) raus. Es gilt also \( (f(x,y)) = (-f(y,x))^T = ~? \). Und zwei Matrizen sind gleich wenn ihre Einträge gleich sind, was folgerst du also?

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na bei einer 1x1 Matrix bleibt das doch bei A^T=a11?

Und zwei Matrizen sind gleich wenn ihre Einträge gleich sind, was folgerst du also

na dann ist es gleich 0? also alternierend?

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na bei einer 1x1 Matrix bleibt das doch bei AT=a11?

Ja genau!

Also ist

\( (f(x,y)) = (-f(y,x))^T = (-f(y,x))\)

 \( \implies f(x,y)=-f(y,x)\)

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Dankeschön für deine Geduld !

War es das dann ?

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Wie hast du die Aufgabe mathematisch korrekt verfasst?