betragsungleichung beweis

Question

Kann jemand mir bei dieser Betragsungleichung helfen?

$$|xy|\leq \frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})$$

ich habe mit diesem Regel schon versucht

1. $$xy\leq\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})$$ und 2. $$xy\geq-(\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2}))$$

und bekomme am Ende $$0\leq (x-y)^{2}$$ und $$0\leq (x+y)^{2}$$

reicht es schon als Beweis? Danke

Grüße

Rara

Answer 1

Aloha :)

$$\left.\left(|x|-|y|\right)^2\ge0\quad\right|\;\text{2-te binomische Formel}$$$$\left.|x|^2-2|x||y|+|y|^2\ge0\quad\right|\;\text{Ersetze: }|x|^2=x^2\,,\,|y|^2=y^2\,,\,|x||y|=|xy|$$$$\left.x^2-2|xy|+y^2\ge0\quad\right|\;+2|xy|$$$$\left.x^2+y^2\ge2|xy|\quad\right|\;:2$$$$\left.\frac{x^2+y^2}{2}\ge|xy|\quad\right.$$

Answer 2

reicht es schon als Beweis? 

Nein. Du bist von der Behauptung ausgegangen.

Beweise gehen aber von Voraussetzungen aus. Du musst also deinen gesamte Weg umkehren (oder nachweisen, dass jeder Schritt in der genau-dann-wenn-Form passierte).

Zudem fehlt bei dir die Zuordnung, in welchem konkreten Fall 1) und in welchen Fall 2) gilt.

Comments

hallo,

Mir ist es eigentlich mit diesem Thema noch nicht klar. Können Sie vielleicht ein Hinweis geben, wohin oder in welche Richtung ich gehen soll?

Danke

Rara

Answer 3

(i) Falls (x>0 und y>0) oder (x<0 und y<0) gilt |xy| = +(xy)

(ii) Falls (x<0 und y>0) oder (x>0 und y<0) gilt |xy| = -(xy)

Beide Fälle ausrechnen.

Answer 4

|xy| ≤ 1/2 * ( x^2 + y^2 )
Fallunterscheidung
1.) xy ≥ 0
dafür gilt
|xy| = xy
xy ≤ 1/2 * ( x^2 + y^2 )
2xy ≤ x^2 + y^2
0 ≤ x^2- 2xy + y^2
0 ≤ ( x - y ) ^2
Ein Quadrat ist immer größer / gleich 0. Bingo

2.) xy < 0
dafür gilt
|xy| = xy * (-1)
(xy)*(-1) ≤ 1/2 * ( x^2 + y^2 )
-2xy ≤ x^2 + y^2
0 ≤ x^2 + 2xy + y^2
0 ≤ ( x + y ) ^2
Ein Quadrat ist immer größer / gleich 0. Bingo