Wie beweise ich eine Betragsungleichung?

Question

Aufgabe: Zeige die folgenden Aussagen:

(i) Für alle x,y∈ℝ gilt

|x| + |y| ≤ |x+y| + |x-y|

(ii) Für alle x,y∈ℝ mit x≠0 und y≠0 gilt

|x/y + y/x| ≥ 2

Problem/Ansatz:

Zu (i) habe ich mir gedacht, dass esirgendwie nach der Dreiecksungleichung aussieht, oder der rechte Teil auch ein wenig nach binomischer Formel, jedoch habe ich garkeine Ahnung wo ich ansetzen soll. Leider bin ich auch mit Betragsstrichen noch nicht so vertraut und weiß nicht, ich ich diese "trennen" darf.

zu (ii): ebenfalls, die betragsstriche verunsichern mich am meisten. Dazu binich mir nicht ganz sicher, bei welchen Rechenoperationen sich die relation umdreht.

Hilfe ist sehr willkommen, vielen Dank :)

Answer 1

Hallo

i) Fallunterscheidungen so dass du jeweils die Betragsstriche weglassen kannst, etwa x<0,y<0 usw.

ii x,y verschiedene Vorzeichen und gleiche, wieder ohne Betrag, Hauptnenner  und Binom (x-y)^2>0 benutzen

lul

Answer 2

zu(i)

$$|x| + |y| ≤ |x+y| + |x-y|$$$$x;y≥0$$$$x+y≤x+y+|x-y|$$$$0≤|x-y|$$$$x;y≤0$$$$-x-y≤-x-y+|x-y|$$$$0≤|x-y|$$$$x≤0≤y$$$$-x+y≤-x+y+|x+y|$$$$0≤|x+y|$$$$y≤0≤x$$$$x-y≤x-y+|x+y|$$$$0≤|x+y|$$

Zu(ii)

$$(x^2-y^2)^2≥0$$$$x^4-2x^2y^2+x^4≥0$$$$x^4+y^4≥2x^2y^2$$$$x^4+2x^2y^2+y^4≥4x^2y^2$$$$(x^4+2x^2y^2+y^4)/x^2y^2≥4$$$$|(x^2+y^2)/(xy)|≥2$$$$|x/y+y/x|≥2 $$

wzzw

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Antwort ergänzt.