Aloha :)
Gegeben ist die Funktion:$$f:\mathbb{R^2}\to\mathbb{R}\,,\,f(x,y)=-x^2-y^2+5$$Wir können jeden Punkt \((x|y)\) in der \(xy\)-Ebene beschreiben, indem wir um den Nullpunkt \((0|0)\) des Koordinatensystems einen Kreisbogen mit Radius \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) ziehen, der den Punkt \((x|y)\) enthält. Die Verbindungslinie vom Nullpunkt zum Punkt \((x|y)\) schließt dann mit der \(x\)-Achse einen Winkel ein, den wir \(\vartheta\) nennen. Die Darstellung ist dann:$$\binom{x}{y}=r\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\quad;\quad r=\sqrt{x^2+y^2}\quad;\quad\vartheta=\left\{\begin{array}{l}\arctan\left(\frac{y}{x}\right)&;&x>0\\\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\pm\pi&;&x<0\end{array}\right.$$Mit diesen sog. "Polarkoordinaten" können wir die Funktion umschreiben:$$f(r,\vartheta)=-(r\cos\vartheta)^2-(r\sin\vartheta)^2+5=-r^2(\sin^2\vartheta+\cos^2\vartheta)+5=-r^2+5$$Die gesuchte Richtungsableitung mit Blick nach Außen ist:
$$\partial_{\vec v_r}f=\operatorname{grad}(-x^2-y^2+5)\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}=\binom{-2x}{-2y}\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}$$$$\phantom{\partial_{\vec v_r}f}=\binom{-2r\cos\vartheta}{-2r\sin\vartheta}\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}=-2r\cos^2\vartheta-2r\sin^2\vartheta$$$$\phantom{\partial_{\vec v_r}f}=-2r\underbrace{(\cos^2\vartheta+\sin^2\vartheta)}_{=1}=-2r$$Aus der Darstellung \(f(r,\vartheta)=-r^2+5\) entnehmen wir, dass die Niveaulinie \(z=1\) für \(r=2\) erreicht wird. Speziell auf der Niveaulinie \(z=1\) beträgt die Richtungsableitung:$$\partial_{\vec v_r}f(z=1)=-4$$
Nun steht der Beobachter an Position \((1|1)\). Um wieder Polarkoordinaten verwenden zu können, verschieben wir das Gebirge so, dass der Beobachter wieder am Ursprung steht. Daraus resultiert eine neue "Gebirgs-Funktion":$$g(x,y)=-(x-1)^2-(y-1)^2+5$$
Wie im ersten Teil bestimmen wir die Richtungsableitung in Radialrichtung, also den Anstieg, den der Beobachter wahrnimmt, wenn er sich um den Winkel \(\vartheta\) gedreht hat:
$$\partial_{\vec v_r}g=\operatorname{grad}\left(-(x-1)^2-(y-1)^2+5\right)\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}=\binom{-2(x-1)}{-2(y-1)}\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}$$$$\phantom{\partial_{\vec v_r}g}=\binom{-2r\cos\vartheta+2}{-2r\sin\vartheta+2}\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}=-2r\cos^2\vartheta-2r\sin^2\vartheta+2\cos\vartheta+2\sin\vartheta$$$$\phantom{\partial_{\vec v_r}g}=-2r\underbrace{(\cos^2\vartheta+\sin^2\vartheta)}_{=1}+2(\cos\vartheta+\sin\vartheta)=-2r+2(\cos\vartheta+\sin\vartheta)$$
Wir suchen noch die Drehwinkeln \(\vartheta\), wo der Beobachter extremales Gefälle wahrnimmt:$$0\stackrel{!}=\frac{\partial}{\partial\vartheta}\left(\partial_{\vec v_r}g\right)=-2\sin\vartheta+2\cos\vartheta\quad\Leftrightarrow\quad\sin\vartheta\stackrel{!}{=}\cos\vartheta\quad\Leftrightarrow\quad \tan\vartheta\stackrel{!}{=}1$$Extremales Gefälle sieht der Beobachter als bei \(\vartheta=\frac{\pi}{4}\) und bei \(\vartheta=\frac{5\pi}{4}\) [die \(\tan\)-Funktion ist \(\pi\)-periodisch.]
