Polynomfunktion Funktionsterm bestimmen

Question

geg.: Polynomfunktion 4. Grades achsensymmetrisch also:

ax^4+cx²+e

Schnittpunkte bei (0|3), (2|0) und (4|0).

Wie lösbar?

Answer 1

$$f(0)=3\Rightarrow c=3\\f(2)=0\Rightarrow 16a + 4b = -3 \\f(4)=0\Rightarrow 256a+16b=-3$$

Comments

und wie komme ich auf a und b?

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Du könntest z.B. die erste Gleichung mit -4 multiplizieren und zur 2. addieren.

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\(f(0)=3\Rightarrow{\large\pmb e}=3\).

Answer 2

Aloha :)

Aus den Nullstellen \((2|0)\) und \((4|0)\) und der Achsensymmetrie folgen zwei weitere Nullstellen \((-2|0)\) und \((-4|0)\). Damit haben wir, bis auf einen Skalierungsfaktor \(a\), die Funktion schon fertig:$$f(x)=a(x-2)(x+2)(x-4)(x+4)$$$$\phantom{f(x)}=a(x^2-4)(x^2-16)$$$$\phantom{f(x)}=a(x^4-20x^2+64)$$Der dritte angegebene Punkt \((0|3)\) liefert den Skalierungsfaktor \(a\):$$3=f(0)=64a\quad\Rightarrow\quad a=\frac{3}{64}$$Damit haben wir alles zusammen:$$f(x)=\frac{3}{64}(x^4-20x^2+64)$$

~plot~ 3/64*(x^4-20x^2+64) ; {2|0} ; {4|0} ; {0|3} ; [[-5|6|-3|5]] ~plot~