Beschränkter Zerfall: Wann sinkt Temperatur um weniger als 1°?

Question

ich hätte eine Frage zur folgenden Aufgabe:

Ab welchem Zeitpunkt nimmt bei f(t)= 20 + 46e^(-0.047t) die Temperatur in einer Minute un weniger als ein Grad ab?

t( in Minuten) (f(t) in °C)

Die Lösung macht es so: Es sei P der Zeitpunkt, ab dem die Temperatur in einer Minute um weniger als 1° abnimmt. Somit muss gelten f(P) - f(P+1) < 1

Nach dem Auflösen, bleibt das hier übrig:  P > \( \frac{-1}{0,047} \)*ln(\( \frac{1}{46(1-e^{-0.047})} \)) ≈ 15,9.

Nach fast 16 Min sinkt die Temp. in einer Minute um weniger als ein Grad ab.

So viel zur Lösung. Jetzt wollt ich wissen ob ich die Aufgabe auch mit dem Ableitung lösen hätte können.

Also  f(t) > -1

f(t) =\( -2,162e^{-0,047t} \)

Nach dem Auflösen und ausrechen, bekommen ich t > 16,4 als Lösung. Meine Antwort wäre dann:

Nach 16,4 Min sinkt die Temp. in einer Minute um weniger als ein Grad ab.

Ist dies ebenfalls möglich und wenn, wieso kommt diese starke Abweichung zustande von 15,9 zu 16,4? Oder ist es damit gar nicht möglich?

Answer 1

Somit muss gelten f(P) - f(P+1) < 1

"in einer Minute um weniger als 1° abnimmt" wird hier als Angabe der durchschnittlichen Änderungsrate aufgefasst.

Also  f`(t) > -1

"in einer Minute um weniger als 1° abnimmt" wird hier als Angabe der momentanten Änderungsrate aufgefasst.

wieso kommt diese starke Abweichung zustande von 15,9 zu 16,4?

In Anbetracht dessen, dass zwei unterschiedliche Auffassungen zugrunde liegen, ist die Abweichung nicht so stark, nämlich 30 Sekunden. Das ist die Mitte zwischen dem Zeitpunkt P, zu dem die Abkühlung schneller als 1°/min ist und dem Zeitpunkt P+1, zu dem die Abkühlung langsamer als 1°/min ist

Comments

Danke, was ich aber noch nicht verstehe:

Woher sollte ich wissen, dass ich die durchschnittliche Änderungsrate berechnen muss, ich dachte, weil es "Zeitpunkt" hieß, an die momentane Änderungsrate .

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Ich wünschte, darauf gäbe es eine einfache Antwort. Die Formulierung "in einer Minute" deutet eigentlich auf die durchschnittliche Änderungsrate. Ich habe aber entsprechende Formulierungen angetroffen, bei denen in der Musterlösung dann die momentane Änderungsrate berechnet wurde. Vermutlich wirst du auf Telepathie zurückgreifen müssen.