Volumen einer Pyramide mit Spatprodukt berechnen (Vektorrechnung)

Question

Folgende Aufgabe war ursprünglich gestellt:

Berechnen Sie mithilfe des Spatprodukts das Volumen einer Pyramide mit viereckiger Grundfläche ABCD und der Spitze S. Die Eckpunkte lauten: A(4;3;1),B(1;7;1),C(−3;2;0),D(0;0;0),S(0;3;4)


Ich habe die Pyramide längs der Diagonalen AC geteilt und so das Volumen der entstandenen zwei dreiseitigen Pyramiden berechnet und schließlich addiert. Ich komme am Ende auf ein Volumen von 28.

Mein Lehrer kam bei seiner Rechnung auf ein Volumen von 29. Der Unterschied ist, dass er längs der Diagonalen DB geteilt hat. Ansonsten ist er gleich vorgegangen. Er meinte allerdings, dass beide Lösungen richtig sind. Ich soll jetzt herausfinden warum es zu diesem Widerspruch kommt.

Answer 1

Das ist kein Widerspruch, das sind 2x2 unterschiedliche Pyramiden,

Die Teilung BD "liegt tiefer" als AC - AC ist windschief zu BD.

Die BD Pyramiden sind höher als die AC Pyramiden

Answer 2

Aloha :)

Die Ebene mit den Punkten ABC hat die Koordinatenform: $E:\;-4x_1-3x_2+31x_3=6$

In $E$ liegt weder der Punkt $D$ noch der Punkt $S$. Das Volumen ABCDS ist also gar keine Pyramide mit 4-eckiger Grundfläche. Daher erhalten dein Lehrer und du unterschideliche Ergebnisse.

Wäre die vorgegebene Pyramide aber eine solche, könnte ich dein Ergebnis bestätigen, indem ich die 4-eckige Grundfläche in 2 dreieckige Grundflächen aufteilen würde ;)

Pyramide ADCS: $\overrightarrow{DA}=(4|3|1)\quad;\quad\overrightarrow{DC}=(-3|2|0)\quad;\quad\overrightarrow{DS}=(0|3|4)$

Pyramide ABCS: $\overrightarrow{BA}=(3|-4|0)\quad;\quad\overrightarrow{BC}=(-4|-5|-1)\quad;\quad\overrightarrow{BS}=(-1|-4|3)$

Das Volumen beider Pyramiden zusammen ist nun:$$V=\left|\frac{1}{6}\left|\begin{array}{r}4 & 3 & 1\\-3 & 2 & 0\\0 & 3 & 4\end{array}\right|\right|+\left|\frac{1}{6}\left|\begin{array}{r}3 & -4 & 0\\-4 & -5 & -1\\-1 & -4 & 3\end{array}\right|\right|=\frac{59}{6}+\frac{109}{6}=28$$