uneigentliches Integral auf Konvergenz/Divergenz mit dem Vergleichskriterium untersuchen

Question

Huhu,

ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter vlt. kann mir ja jmd. helfen !? :)

Aufgabe:

Untersuchen Sie mit dem Vergleichskriterium das uneigentliche Integral \( \int\limits_{1/2}^{\infty} \)\( \frac{1}{\sqrt{x*(1+x^2)}} \) dx auf Konvergenz bzw. Divergenz.

Unser Prof. meinte im Seminar das es einen Trick gibt und zwar das uneigentliche Integral als unbestimmtes zu betrachten und mithilfe der partiellen Integration die Stammfunktion dessen zu bestimmen und dann den Limes gegen die Problemstelle "laufen" zu lassen \( \lim\limits_{x\to\infty} \) ( F(b) - F(a) ).

|f(x)| <= g(x)

Allerdings bekomme ich für g(x) = x raus was sehr wahrscheinlich nicht richtig ist.

MfG Felix

Answer 1

Hallo,

es gilt ja die einfache Abschätzung

$$\frac{1}{\sqrt{x(1+x^2)}} \leq \frac{1}{\sqrt{x^3}}= x^{-\frac{3}{2}}$$

Das Integral

$$\int_{0.5}^y  x^{-\frac{3}{2}} \text{d}x$$

lässt sich leicht berechnen und man kann dann den Grenzübergang \(y \to \infty\) durchführen.

Gruß