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Aufgabe:

Uneigentliches Integral von f(x) = x * ln(x^2 - 1) auf Konvergenz untersuchen. Integrationsgrenzen x=1 und x=2

$$ \int\limits_{1}^{2} { x·ln(x ^2  - 1) } dx $$

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich die Substitution und die partielle Integration anwenden muss, aber ich habe keine Ahnung wie das anstellen soll.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe erklären könnte bzw. mir bei der Lösung helfen könnte.

von

3 Antworten

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Aloha :)

Das unbestimmte Integral kannst du mit partieller Integration schnell hinschreiben:

$$\int \underbrace{x}_{=u'}\underbrace{\ln(x^2-1)}_{=v}\,dx=\underbrace{\frac{x^2}{2}}_{=u}\underbrace{\ln(x^2-1)}_{=v}-\int\underbrace{\frac{x^2}{2}}_{=u}\underbrace{\frac{2x}{x^2-1}}_{=v'}\,dx$$$$\quad=\frac{x^2}{2}\ln(x^2-1)-\int\frac{x^3}{x^2-1}\,dx=\frac{x^2}{2}\ln(x^2-1)-\int\left(x+\frac{x}{x^2-1}\right)\,dx$$$$\quad=\frac{x^2}{2}\ln(x^2-1)-\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\ln(x^2-1)=\frac{x^2-1}{2}\ln(x^2-1)-\frac{x^2}{2}+\mbox{const}$$Für die obere Grenze \(x=2\) bekommst du den Wert:$$W_o=\frac{4-1}{2}\ln(4-1)-\frac{4}{2}=\frac{3}{2}\ln3-2$$Für die untere Grenze \(x=1\) folgt mit der Regel von L'Hospital:$$W_u=\lim_{x\to1}\left(\frac{\ln(x^2-1)}{\frac{2}{x^2-1}}-\frac{x^2}{2}\right)=\lim_{x\to1}\left(\frac{\frac{2x}{x^2-1}}{\frac{-4x}{(x^2-1)^2}}-\frac{x^2}{2}\right)$$$$\quad=\lim_{x\to1}\left(-\frac{2x}{x^2-1}\frac{(x^2-1)^2}{4x}-\frac{x^2}{2}\right)=\lim_{x\to1}\left(-\frac{x^2-1}{2}-\frac{x^2}{2}\right)=-\frac{1}{2}$$Also ist:$$\int\limits_1^2 x\ln(x^2-1)\,dx=\frac{3}{2}\ln3-2-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}\left(\ln3-1\right)$$

von 18 k
+1 Daumen

Ich habe den Weg ohne Grenzen berechnet.

Es gibt bei 1 eine Diskontinuität , da mußt Du noch einen Grenzübergang machen , wenn Du die Grenzen einsetzt.

Das Ergebnis lautet: 3/2 ((ln3) -1). Damit konvergiert das Integral.

Empfehlung: Substituiere die Grenzen.

G1.png

G2.png

von 93 k 🚀
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Was spricht gegen die Substitution u = x^2 - 1 ?

Was hast du bisher ausprobiert?

von 156 k 🚀

Ich habe bis jetzt:

u = x2-1

u´= 2x

du = 2x·dx

dx = \( \frac{dt}{2x} \)

Tipp: Verwende dfrac statt frac damit du besser kontrollieren kannst, was du geschrieben hast. Da müsste noch "du" nicht dt stehen.

x kannst du mit dem vorhandenen Faktor x kürzen.

Alternativ: Unter dem Integral gleich x * dx mit du/2 ersetzen.

1/2 vor das Integral nehmen.

Und dann das Produkt (1 * ln(u) ) partiell integrieren.

1 integrieren ln(u) ableiten.

usw.

Falls das nicht gelingt vielleicht mal "Integration von ln" googeln. Das ist ja ein Standardintegral. EDIT: Diesen Part hat Grosserloewe inzwischen nach Schema vorgerechnet.

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