Aloha :)
Die Zufallsvariable \(X\) ist die Anzahl der Versuche, bis das Ereignis \(A\) das erste Mal eintritt. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von \(A\) sei \(p\). Wir bestimmen zunächst die Wahrscheinlichkeit \(p_n\), dass genau \(n\) Versuche benötigt werden.
1 Versuch: \(\;\;p_1=p\)
2 Versuche: \(p_2=(1-p)p\quad\;\,\) Der erste Versuch muss fehlschlagen, der zweite muss klappen.
3 Versuche: \(p_3=(1-p)^2p\quad\) Der ersten 2 Versuche müssen fehlschlagen, der letzte muss klappen.
4 Versuche: \(p_4=(1-p)^3p\quad\) Der ersten 3 Versuche müssen fehlschlagen, der letzte muss klappen.
$$p_n=(1-p)^{n-1}p$$Damit ist der Erwartungswerte \(\mu=\langle X\rangle\) für die Anzahl der Versuche:
$$\mu=\sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot p_n=\sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot (1-p)^{n-1}p=-p\sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot (1-p)^{n-1}(-1)$$$$\phantom{\mu}=-p\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{d}{dp}\left((1-p)^n\right)=-p\frac{d}{dp}\sum\limits_{n=1}^\infty(1-p)^n=-p\frac{d}{dp}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(1-p)^n-1\right)$$$$\phantom{\mu}=-p\frac{d}{dp}\left(\frac{1}{1-(1-p)}-1\right)=-p\frac{d}{dp}\left(\frac{1}{p}-1\right)=-p\frac{d}{dp}\left(\frac{1}{p}\right)=\boxed{\frac{1}{p}}$$
Für die Varianz der Anzahl der Versuche finden wir:
$$\sigma^2=\left<n^2\right>-\left<n\right>^2=\sum\limits_{n=1}^\infty n^2\cdot p_n-\mu^2=\sum\limits_{n=1}^\infty n^2\cdotp(1-p)^{n-1}p-\frac{1}{p^2}$$$$\phantom{\sigma^2}=-p\sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot n\cdotp(1-p)^{n-1}(-1)-\frac{1}{p^2}=-p\sum\limits_{n=1}^\infty n\frac{d}{dp}(1-p)^n-\frac{1}{p^2}$$$$\phantom{\sigma^2}=-p\left(\sum\limits_{n=1}^\infty (n+1)\frac{d}{dp}(1-p)^n-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{d}{dp}(1-p)^n\right)-\frac{1}{p^2}$$$$\phantom{\sigma^2}=-p\sum\limits_{n=1}^\infty (n+1)\frac{d}{dp}(1-p)^n+\underbrace{p\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{d}{dp}(1-p)^n}_{=-\mu=-\frac{1}{p}}-\frac{1}{p^2}$$$$\phantom{\sigma^2}=p\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{d}{dp}\left[(n+1)(1-p)^n(-1)\right]-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}$$$$\phantom{\sigma^2}=p\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{d}{dp}\left[n(1-p)^{n-1}(-1)\right]-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=p\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{d^2}{dp^2}(1-p)^n-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}$$$$\phantom{\sigma^2}=p\frac{d^2}{dp^2}\sum\limits_{n=2}^\infty (1-p)^n-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}$$$$\phantom{\sigma^2}=p\frac{d^2}{dp^2}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty (1-p)^n-1-(1-p)\right)-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}$$$$\phantom{\sigma^2}=p\frac{d^2}{dp^2}\left(\frac{1}{1-(1-p)}+p\right)-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=p\frac{d^2}{dp^2}\left(\frac{1}{p}+p\right)-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}$$$$\phantom{\sigma^2}=p\frac{d}{dp}\left(-\frac{1}{p^2}+1\right)-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=p\frac{2}{p^3}-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=\boxed{\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}}$$
