Statistik: Aus n Schlüsseln durch zufällige Ziehung und ohne Zurücklegen den richtigen finden.

Question

Das Problem ist das Folgende:
Aus n Schlüsseln soll durch zufällige Ziehung und ohne Zurücklegen der richtigen gefunden werden.
Die Zufallsvariable X gibt dabei die Anzahl der Versuche an, bis der richtige Schlüssel gefunden wurde.
Bisher ist mir klar, dass der Erwartungswert E(X) 1/n ist.
Jetzt ist aber noch die Varianz gesucht. Die berechne ich ja über Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2, aber wie komme ich jetzt an das E(X^2)? Die Wahrscheinlichkeit bleibt ja gleich, aber vor den Wahrscheinlichkeiten steht ja eine Ausprägung von 1, sodass Var(X) 0 wäre, das klingt für mich aber nicht wirklich logisch.

Answer 1

Die Zufallsvariable X gibt dabei die Anzahl der Versuche an, bis der richtige Schlüssel gefunden wurde. 

Du bist sicher das E(x) = 1/n ist. 

Das würde bedeuten das bei 100 Schlüsseln der Erwartungswert der Anzahl an Ziehungen bis zum passenden Schlüssel 1/100 ist.

Ich glaube wir sind uns einig das das nicht sein kann.

Mach das ganze vielleicht erstmal konkret an n = 5 Schlüsseln und n = 10 Schlüsseln. Wenn du das hast kannst du das für n verallgemeinern und eine allgemeine Formel entwickeln.

Ich komme dabei auf

E(x) = 1/2·(n + 1)

V(x) = 1/12·(n^2 - 1)

σ = √(3·n^2 - 3)/6

Ich glaube für n = 6 hat das schon fast jeder Schüler mal in der Schule durchgerechnet. Allerdings an einem Beispiel und nicht an Schlüsseln. Vielleicht weißt du was ich meine.

Comments

Aber wie gehe ich da dann im allgemeine Fall dran?
Die Wahrscheinlichkeit P (X = i) ist ja gegeben durch 
P (X=i) = [ (n-1)/n × (n-2)/(n-1) × ... × (n-(i-1))/(n-(i-2)) ] × 1/(n-(i-1) = 1/n
Mit den Fehlversuchen in der eckigen klammer und dem richtigen versuch dahinter.
Mein Fehler bei der E'wert Berechning könnte in der Ausprägung von x liegen. Das habe ich einfach = 1 gesetzt wobei ich mir dabei auch unsicher bin.

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Ah ok habe es raus über die Summen Formel an den erwartungswert.