Implikation und Kontraposition: Aus A ⇒ B folgt ¬A ⇒ ¬B und/oder ¬B ⇒ ¬A

Question

Beim Wiki-Artikel https://www.matheretter.de/wiki/implikation steht:

A ⇒ B ist gleichwertig zu ¬A ⇒ ¬B und wird Kontraposition genannt. Diese ist nicht mit der Umkehrung B ⇒ A zu verwechseln.

Ich habe dazu folgenden Hinweis bekommen:

Gemeint ist meines Erachtens jedoch:
"A ⇒ B ist gleichwertig zu ¬B ⇒ ¬A und wird Kontraposition genannt."

Welche der Aussagen sind korrekt? Beide?

Answer 1

Aloha :)

Die erste Aussage ist falsch:

"schwanger" $\;\;\quad\quad\Rightarrow\quad$ "Frau"

"nicht schwanger" $\quad\not\Rightarrow\quad$ "nicht Frau" (es gibt auch Frauen, die nicht schwanger sind).

Die zweite Aussage ist korrekt.

$A\Rightarrow B$ bedeutet, dass $B$ eine notwendige Voraussetzung für $A$ ist. Wenn also $B$ nicht gilt, kann $A$ nicht gelten. Am Beispiel von oben, ist eine notwendige Voraussetzung für die Eigenschaft "schwanger" die Eigenschaft "Frau". Die Aussage $(\neg B\Rightarrow\neg A)$ ist vollkommen gleichwertig zur Aussage $(A\Rightarrow B)$.

Answer 2

Letztere ist korrekt. Das kann man mit einer Wahrheitstabelle zeigen.

Comments

Meinst du damit, die Wahrheitstabelle „rückwärts“ zu lesen?

Könntest du ggf. diese Tabelle kurz aufstellen?

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A	B	A⇒B	¬B	¬A	¬B⇒¬A
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	0	1