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Sei P(r) R(reelle Zahlen) wieder der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ r.

Gibt es eine lineare Abbildung L:R3 → P(2) R, die gleichzeitig die folgenden 3 Bedingungen erfüllt:

L(1,2,3) = x2−1,

L(0,2,1) = 3x+ 4,

L(−1,0,−2) =x2+x+ 1?

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Aloha :)

Für die drei gegebenen Argument-Vektoren gilt:(021)=(123)+(102)\quad\quad(0|2|1)=(1|2|3)+(-1|0|-2)

Für eine linearen Funktion LL müsste dann gelten: L(021)=L(123)+L(102)\quad L(0|2|1)=L(1|2|3)+L(-1|0|-2)

Wir prüfen das nach:L(123)+L(102)=(x21)+(x2+x+1)=2x2+xL(1|2|3)+L(-1|0|-2)=(x^2-1)+(x^2+x+1)=2x^2+xL(021)=3x+4L(0|2|1)=3x+4L(021)L(123)+L(102)\Rightarrow\quad L(0|2|1)\ne L(1|2|3)+L(-1|0|-2)Eine solche lineare Funktion existiert nicht.

Avatar von 153 k 🚀

Danke für deine Antwort, die ist sehr hilfreich. Aber was ich noch nicht ganz verstehe, was das mit der Linearen Abbildung zu tun hat.
Müssen die 3 Bedingungen als Linearkombination geschrieben werden um dann sagen zu können, dass es eine Lineare Abbildung gibt?

Bei einer linearen Abbildung muss für alle x,yx,y gelten:f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)Wir haben hier ein Paar x,yx,y angegeben, das diese Bedingung nicht erfüllt. Daher kann die Abbildung nicht linear sein.

Ja stimmt danke:)

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