Wahrscheinlichkeitsdichte, Normierungsfaktor a f(x) = a*exp(-4x2)

Question

Problem:

Gegeben ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = a*exp(-4x²) mit -∞<x<+∞ . Wie groß sind Varianz, Erwartungswert, und Normierungsfaktor a? (Lösung ist ganz einfach durch Vergleich mit der Normalverteilung)

Ansatz:

Muss ich jetzt das Integral für f(x) bilden?

Also \( F(x)=  \int A \exp (x)\left(-4 x^{2}\right) d x=-4 A e^{x}\left(x^{2}-2 x+2\right) + \text{ constant}\)

Frage:

Ich verstehe die Aufgabe nicht so recht. Soll dort jetzt einfach 1 rauskommen und was bedeutet die Normalverteilung?

Answer 1

Aloha :)

Die Normalverteilung mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) lautet:$$N(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt$$Darauf können wir die Verteilungsfunktion \(F\) der Wahrscheinlichkeitsdichte \(f\) zurückführen:$$4x^2=\frac{1}{\frac{1}{4}}x^2=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{8}}x^2=\frac{1}{2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt8}\right)^2}x^2=\frac{x^2}{2\left(\frac{1}{\sqrt8}\right)^2}$$$$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x ae^{-4x^2}dx=a\int\limits_{-\infty}^z e^{-\frac{x^2}{2\left(\frac{1}{\sqrt8}\right)^2}}dx$$Wir lesen daraus ab:$$\mu_f=0\quad;\quad\sigma_f=\frac{1}{\sqrt8}\quad;\quad a=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt8}\sqrt{2\pi}}=\frac{2}{\sqrt\pi}$$

Comments

Ich versuche die aufgabe nachzuvollziehen, aber verstehe nicht warum du aus 4x2 = x^2/2(1/√8)^2 bekommen hast. Wie hast du da umgeformt ?

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Denk dir mal das \(x^2\) weg. Im Prinzip habe ich nur die 4 anders geschrieben:$$4=1\cdot\frac{4}{1}=1:\frac{1}{4}=\frac{1}{\frac{1}{4}}$$Dann habe ich die \(\frac{1}{4}\) im Nenner weiter umgeformt:$$\frac{1}{4}=2\cdot\frac{1}{8}=2\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{8}}\right)^2=2\left(\frac{1}{\sqrt8}\right)^2$$Diese Darstellung von \(\frac{1}{4}\) habe ich nun oben eingetragen:$$4=\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2\left(\frac{1}{\sqrt8}\right)^2}$$Jetzt noch auf beiden Seiten mit \(x^2\) multiplizieren:$$4x^2=\frac{x^2}{2\left(\frac{1}{\sqrt8}\right)^2}$$Das sieht wilder aus, als es eigentlich ist. Ich habe die \(4\) nur so geschrieben, dass man den Ausdruck gut mit dem Exponenten der Normalverteilung vergleichen kann.