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Betrachten Sie die stetig differenzierbare Funktion f = (f1 , f2 ) : ℝ2 → ℝ2 ,
f1 (x, y) = ex cos(y)
f2 (x, y) = ex sin(y).

a) Bestimmen Sie das Bild von f .


b) Zeigen Sie, dass die Ableitung Df (x, y) umkehrbar ist in allen (x, y) ∈ ℝ2 , also dass f überall lokal invertierbar ist. Ist f (global) invertierbar?

c) Betrachten Sie die Punkte p = (0, \( \frac{π}{3} \) ) und q = f (p). Wegen (b) gibt es Umgebungen U von p und W von q, so dass f die Umgebung U bijektiv auf W abbildet. Sei g die lokale Umkehrfunktion, die auf W definiert ist. Finden Sie direkt eine explizite Darstellung für g und berechnen Sie anschließend Dg(q) und Df(p), um zu zeigen, dass tatsächlich gilt:
Dg(q) = (Df(p))-1

d) Beschreiben Sie das Bild unter f von zu den Koordinatenachsen parallel verlaufenden
Geraden.

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Hallo,

Du musst Dich für a) und b) mit der Frage auseinandersetzen: Wenn (s,t) gegeben ist, existieren dann (x,y) mit f(x,y)=(s,t). Das ist konkret das Gleichungssystem:

$$e^x \cos(y)=s \text{ und } e^x \sin(y)=t$$

Wegen der trigonometrischen Funktionen liegt es nahe, beide Gleichungen zu quadrieren und zu addieren ....

Gruß

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