Aloha :)
Die Integrabilitätsbedingungen sind erfüllt, wenn die Rotation des Vektorfeldes verschwindet:
rotf=⎝⎛∂x∂y∂z⎠⎞×⎝⎛(x−y)2ay(x−y)22x+1z⎠⎞=⎝⎜⎜⎛00∂x((x−y)22x)−∂y((x−y)2ay)⎠⎟⎟⎞Damit auch die z-Komponente der Rotation verschwindet, muss gelten:
∂x((x−y)22x)=∂y((x−y)2ay)∣∣∣∣∣Quotientenregel(x−y)42(x−y)2−2x⋅2(x−y)=(x−y)4a(x−y)2+ay⋅2(x−y)∣∣∣∣∣⋅(x−y)42(x−y)2−2x⋅2(x−y)=a(x−y)2+ay⋅2(x−y)∣∣∣ : 2(x−y)(x−y)−2x=2a(x−y)+ay=2a[(x−y)+2y]∣∣∣∣vereinfachen−(x+y)=2a(x+y)∣∣∣∣⋅x+y2a=−2