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Für welche Werte von a ∈ ℝ des Vekrotfeldes ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt?


f(x, y, z)=(ay(xy)22x(xy)2+1z) \begin{pmatrix}\frac{ay}{(x-y)^2} \\\frac{2x}{(x-y)^2 }+1\\z \end{pmatrix}

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Aloha :)

Die Integrabilitätsbedingungen sind erfüllt, wenn die Rotation des Vektorfeldes verschwindet:

rotf=(xyz)×(ay(xy)22x(xy)2+1z)=(00x(2x(xy)2)y(ay(xy)2))\operatorname{rot}\vec f=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\frac{ay}{(x-y)^2} \\\frac{2x}{(x-y)^2 }+1\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\partial_x\left(\frac{2x}{(x-y)^2}\right)-\partial_y\left(\frac{ay}{(x-y)^2}\right)\end{pmatrix}Damit auch die z-Komponente der Rotation verschwindet, muss gelten:

x(2x(xy)2)=y(ay(xy)2)  Quotientenregel\left.\partial_x\left(\frac{2x}{(x-y)^2}\right)=\partial_y\left(\frac{ay}{(x-y)^2}\right)\quad\right|\;\text{Quotientenregel}2(xy)22x2(xy)(xy)4=a(xy)2+ay2(xy)(xy)4  (xy)4\left.\frac{2(x-y)^2-2x\cdot2(x-y)}{(x-y)^4}=\frac{a(x-y)^2+ay\cdot2(x-y)}{(x-y)^4}\quad\right|\;\cdot(x-y)^42(xy)22x2(xy)=a(xy)2+ay2(xy)   : 2(xy)\left.2(x-y)^2-2x\cdot2(x-y)=a(x-y)^2+ay\cdot2(x-y)\quad\right|\;:2(x-y)(xy)2x=a2(xy)+ay=a2[(xy)+2y]  vereinfachen\left.(x-y)-2x=\frac{a}{2}(x-y)+ay=\frac{a}{2}\left[(x-y)+2y\right]\quad\right|\;\text{vereinfachen}(x+y)=a2(x+y)  2x+y\left.-(x+y)=\frac{a}{2}(x+y)\quad\right|\;\cdot\frac{2}{x+y}a=2a=-2

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