Integral ober/untergrenzen Berechnen

Question

Aufgabe:

f_k(x)= -1/k*x^2 +k

Für welches k ist der Inhalt er Fläche, die der Graph von f_k mit der x Achse einschließt, gerade 12 Flächeneinheiten groß ?

Problem/Ansatz:

Ich habe das mit dem TR umgestellt und komm auf k = 3. Mein Problem ist aber, ich weiß nicht wie drauf komme ohne TR. Die Nullstelle ist ja k. Kann mir das mal jemand erklären ?

Answer 1

Nullstellen sind \(k\) und \(-k\).

Löse also die Gleichung

        \(\int_{-k}^k \left(-\frac{1}{k}x^2 + k\right) \mathrm{d}x = 12\)

Answer 2

Hallo,

$$\int_{-k}^{k}-\frac{1}{k}x^2+k\\Stammfunktion:\\F(x)=-\frac{1}{3k}x^3+kx\\ F(k)=-\frac{k^3}{3k}+k^2=\frac{2}{3}k^2\\ F(-k)=\frac{k^3}{3k}-k^2=-\frac{2}{3}k^2\\ F(k)-F(-k)=\frac{4}{3}k^2\\\frac{4}{3}k^2=12\\k^2=9\\k=3$$

Gruß, Silvia

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Vielen vielen Dank