Parameterdarstellung abhängig von der Länge der Vektoren?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade g:x= (29I20I-67)+k*(-4I-2I-6)

Jannik erklärt: Bei einer Parameterdarstellung einer Geraden kommt es nur auf die Richtung, nicht aber auf die Länge der Vektoren an. Die Parameterdarstellung von g kann man also z.B. auch so schreiben: g:x=(2I1I-4)+r*(2I1I3)"

Nehmen Sie zu Janniks Behauptung Stellung

LG

Answer 1

Wenn die beiden Geradendarstellung identisch sein sollen muss gelten

$$ \begin{pmatrix} 29 \\ 20 \\ -67 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}  $$

Das sind drei Gleichungen für zwei Variabel. Berechne aus zwei Gleichungen \( r \) und \( s \) und setzte diese Werte in die noch nicht benutzte Gleichung ein. Wenn auch diese erfüllt ist, sind die beiden Darstellungen gleich.

Comments

Wenn man z.B. die ersten beiden Gleichungen nimmt, folgt

$$ 27 = 4k +2r  $$ und $$  19 = 2k +r $$Wenn man die letzte Gleichung  mit 2 Multipliziert folgt $$ 38 = 4k + 2r  $$ Das kann nicht sein, da die erste Gleichung besagt, der Ausdruck sollte 27 sein.

Answer 2

Gerade im Raum g: x=a+r*m

a(ax/ay/az)=Stützpunkt (Stützvektor)

r=Geradenparameter,ist nur eine Zahl

m(mx/my/mz)=Richtungsvektor

Je nach Aufgabe muß man auch den Abstand von 2 Punkten berechnen

Vom Punkt A(ax/ay/az) → a(ax/ay/az) ausgehend,kann es sein,dass man von diesem Punkt aus nach rechts oder links gehen muß

m(mx/my/mz) mit (-1) multipliziert ergibt dann die entgegengesetzte Richtung

Abstand von Punkt A(ax/ay/az) und B(bx/by/bz) wäre mit r=1

d=Betrag Wurzel(mx²+my²+mz²)

oder wenn mo(mxo/myo/mo)  mit r*(mxo/myo/mzo)  unr r≠0