Lineare Unabhängigkeit und Basis p0=x(x-1)(x-2); p1=(x+1)x(x-1); p2=(x+2)(x+1)x

Question

Aufgabe:

Wir betrachten im \( Q \) -Vektorraum \( \mathrm{P}_{3}(Q) \) der Polynome vom Grad höchstens 3 mit Koeffizienten aus \( Q \) den Untervektorraum \( V=\{p \mid p(0)=0\} . \) Des weiteren betrachten wir in \( P_{3}(Q) \) die Polynome:
\( p_{0}=x(x-1)(x-2) \quad p_{1}=(x+1) x(x-1) \quad p_{2}=(x+2)(x+1) x \)

a) Stellen sie das Polynom \( 6 x \) als Linearkombination von \( p_{0}, p_{1} \) und \( p_{2} \) dar.

b) Beweisen Sie, dass die Polynome \( p_{0} p_{1} p_{2} \) eine Basis von \( V \) bilden.

Lineare Unabhängigkeit und Basis p0=x(x-1)(x-2); p1=(x+1)x(x-1); p2=(x+2)(x+1)x

Comments

Probiere es schon mal so ähnlich wie hier: https://www.mathelounge.de/66657/berechne-polynome-grad-vektorraum-ihr-lineare-abhangigkeit

Answer 1

a)

\(ap_0+bp_1+cp_2=6x\) liefert per Koeffizientenvergleich das lineare Gleichungssystem

\(a+b+c=0\)
\(-3a+3c=0\)
\(2a-b+2c=6\).

Lösung ist \(a=1,b=-2,c=1\).

b)

\(V\) ist der Kern des (surjektiven) Einsetzungshomomorphismus

\(\phi:P_3(Q)\rightarrow Q,\; p\mapsto p(0)\).

Für die Dimensionen gilt folglich

\(\dim(V)=\dim (P_3(Q))-\dim(Q)=4-1=3\).

Lineare Unabhängigkeit:

sei \(ap_0+bp_1+cp_3=0\), also das Nullpolynom, dann haben wir

\(0=(ap_0+bp_1+cp_2)(1)=cp_2(1)=6c\Rightarrow c=0\),

\(0=(ap_0+bp_1)(-1)=-6a\Rightarrow a=0\) und schließlich

\(0=bp_1(2)=6b\Rightarrow b=0\).

\(p_0,p_1,p_2\) bilden wegen \(dim(V)=3\)

damit eine maximale linear unabhägige Menge, also eine Basis.