a) Betrachten Sie den Vektorraum \( \mathbb{P}_{2}=:\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} | a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right\} \) der Polynome vom Grad \( \leq 2 \).
Gegeben seien die Polynome \( p_{1}(x)=x^{2}+16 \) und \( p_{2}(x)=\left(\frac{1}{2} x+2\right)^{2} \) aus \( \mathbb{P}_{2} \).
i) \( (*) \) Stellen Sie das Polynom \( p_{3}(x)=8 x \) als Linearkombination von \( p_{1} \) und \( p_{2} \) dar.
ii) \( (*) \) Zeigen Sie, dass \( p_{1} \) und \( p_{2} \) linear unabhängig sind.
iii) \( (*) \) Bilden diese beiden Polynome eine Basis von \( \mathbb{P}_{2} ? \) Begründen Sie.
Gegeben sind weiter die Polynome \( p_{4}(x)=x^{2}+x+1, p_{5}(x)=x+1 \) und \( p_{6}(x)=1 \) aus \( \mathbb{P}_{2} \)
iv) Zeigen Sie, dass die Polynome \( p_{4}, p_{5} \) und \( p_{6} \) linear unabhängig sind.
v) Begründen Sie, dass \( \left(p_{4}, p_{5}, p_{6}\right) \) eine Basis des Vektorraums \( \mathrm{P}_{2} \) ist.
vi) Stellen Sie das Polynom \( p_{7}(x)=3 x^{2}+10 x+5 \) als Linearkombination der Polynome \( p_{4}, p_{5} \)
und \( p_{6} \) dar.
Ich brauche Hilfe zu den Aufgaben i), ii) und iii).
