Die Lie Algebra (norwegischer Mathematiker Sophus Lie)

Question

Aufgabe:

Eine Lie-Algebra ist ein K -Vektorraum V zusammen mit einer Verknüpfung [·,·]  :V×V → V derart, dass

für alle A, B ,C ∈ V ,α ,β ∈ K gilt:

(i)  [·,·] ist bilinear, d.h. [αA+βB,C] = α[A,C]+β[B,C] und [A,αB+βC] = α[A,B]+β[A,C],

(ii)  [A,A] = 0,

(iii)  und es gilt die Jacobi-Identität [[A,B],C] + [[B,C],A] + [[C,A],B] = 0. 

Zeigen Sie, dass der Vektorraum V=M(n,K) der n×n - Matrizen durch die Verknüpfung [A,B]  :=  AB−BA zu einer Lie-Algebra wird.

Answer 1

(i) Zeige, dass

        (αA+α'A')B−B(αA+α'A') = α(AB-BA) + α'(A'B-BA')

    und

        A(βB+β'B')−(βB+β'B')A = β(AB-BA)+β'(AB'-B'A)

    ist.

(ii) Zeige, dass AA-AA = 0 ist.

(iii) Zeige, dass ((AB-BA)C-C(AB-BA)) + ((BC-CB)A - A(BC-CA)) + (CA-AC)B-B(CA-AC) = 0 ist