Gegeben sei die Funktion f(x) = 2/(1-x^2). Formel für n-te Ableitung zeigen und Taylorpolynom angeben.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f(x)=\frac{2}{1-x^{2}} \).

a) Zeigen Sie (mit vollständiger Induktion), dass die \( n \) -ten \( (n \in \mathbb{N}) \) Ableitungen von \( f \) von der Form

\( f^{(n)}(x)=n !\left(\frac{1}{(1-x)^{n+1}}+(-1)^{n} \frac{1}{(1+x)^{n+1}}\right) \)

sind.

Hinweis: Die nullte Ableitung \( f^{(0)} \) ist die Funktion selber, also \( f^{(0)}(x)=f(x) \). Ansonsten ist z.B. \( f^{(3)}(x) \) nur eine andere Schreibweise für \( f^{\prime \prime \prime}(x) \).

b) Geben Sie das \( n \) -te Taylorpolynom von \( f \) mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) an. Vereinfachen Sie es soweit wie möglich.

Answer 1

Ich kümmere mich mal nur um (b), weil ich so auf ein wichtiges
Prinzip bei Taylorreihen hinweisen kann:

Wenn eine Funktion durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, dann ist diese
Reihe die Taylorreihe.

Wir haben$$\frac{2}{1-x^2}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-(-x)}$$Mithilfe der geometrischen Reihe wird dies zu$$\sum_{n=0}^{\infty}x^n+\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(1+(-1)^n)x^n$$

Das ist die Taylorreihe mit Entwickliungspunkt \(x_0=0\).

Gruß ermanus