Gegeben sei die Funktion f(x) = 2/(1-x2). Formel für n-te Ableitung zeigen und Taylorpolynom angeben.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion $f(x)=\frac{2}{1-x^{2}}$.

a) Zeigen Sie (mit vollständiger Induktion), dass die $n$ -ten $(n \in \mathbb{N})$ Ableitungen von $f$ von der Form

$f^{(n)}(x)=n !\left(\frac{1}{(1-x)^{n+1}}+(-1)^{n} \frac{1}{(1+x)^{n+1}}\right)$

sind.

Hinweis: Die nullte Ableitung $f^{(0)}$ ist die Funktion selber, also $f^{(0)}(x)=f(x)$. Ansonsten ist z.B. $f^{(3)}(x)$ nur eine andere Schreibweise für $f^{\prime \prime \prime}(x)$.

b) Geben Sie das $n$ -te Taylorpolynom von $f$ mit Entwicklungspunkt $x_{0}=0$ an. Vereinfachen Sie es soweit wie möglich.

Answer 1

Ich kümmere mich mal nur um (b), weil ich so auf ein wichtiges
Prinzip bei Taylorreihen hinweisen kann:

Wenn eine Funktion durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, dann ist diese
Reihe die Taylorreihe.

Wir haben$$\frac{2}{1-x^2}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-(-x)}$$Mithilfe der geometrischen Reihe wird dies zu$$\sum_{n=0}^{\infty}x^n+\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(1+(-1)^n)x^n$$

Das ist die Taylorreihe mit Entwickliungspunkt $x_0=0$.

Gruß ermanus