Hallo,
wir wählen für \( W \) die eindeutige Orthonormalbasis \( \{ w_i : i = 1, \dots, r \} \), wobei \( r < \infty \) die Dimension von \( W \) bezeichne.
Wir erklären
\( p(v) = \sum_{i=1}^r \langle w_i, v \rangle w_i \) (Gleichung (1))
und finden \( p(w) = w \) für \( w \in W \) sowie \( p(v) = 0 \) für \( \langle v, w \rangle = 0 \). Es ist insbesondere
\( \langle v - p(v), w_j \rangle = \langle v, w \rangle - \langle p(v), w_j \rangle \)
\( = \langle v, w_j \rangle - \sum_i \langle w_i, v \rangle \langle w_i, w_j \rangle \)
\( = \langle v, w_j \rangle - \langle w_j, v \rangle = 0 \).
Eine Zerlegung von \( v \in V \) ergibt sich aus \( v = p(v) + v - p(v) \). Sei \( v = p'(v) + v - p'(v) \) eine weitere solche Zerlegung. Man berechnet
\( p(v) - p'(v) = (v - p'(v)) - (v - p(v)) \)
und erhält
\( \langle p(v) - p'(v) , p(v) - p'(v) \rangle = \langle p(v) - p'(v) , (v - p'(v)) - (v - p(v)) \rangle = 0 \)
wegen \( p(v) - p'(v) = \sum_i b_i w_i \in W \). Es folgt \( p = p' \).
Eine alternative Diskussion, warum \( p(v) \) durch Gleichung (1) eindeutig festgelegt ist, ergibt sich wie folgt: Da \( p(w) = w \) gilt und \( p \) linear ist, muss \( p \) die Form \( p(v) = \sum_{i=1}^r a_i(v) w_i \) mit linearen Koeffizientenfunktionen \( a_i(v) \) haben.
Durch
\( \langle w_i, w_j \rangle = \langle w_i, p(w_j) \rangle \)
\( = \langle w_i, \sum_k a_k(w_j) w_k \rangle \)
\( = \sum_k a_k(w_j) \langle w_i, w_k \rangle \)
\( = a_i(w_j) \)
sind die insgesamt \( r^2 \) freien Koeffizienten der linearen Koeffizientenfunktionen \( a_i \) festgelegt.
Grüße
Mister
Quelle (teilweise): https://www.mat.tuhh.de/lehre/material/Mathe_II_Folien_voss/la2_kap6.pdf?page=31
