Berührebene berechnen in g und k

Question

Wie bestimme ich die Gleichung der Berühr-ebene in den Schnittpunkten der Gerade g und der Kugel k??

g: X = (-4 / 2 / 4) + t • (3/ 1 / 0)

k [M (0 / 0 / 0) , r = 6]

Answer 1

Hallo,

Gegeben sind die Gerade \(g\) und die Kugel \(k\) $$g: \space \vec x(t) = \begin{pmatrix} -4\\ 2\\ 4 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\ 0 \end{pmatrix} \\ k: \vec x^2 = 6^2$$Bestimme die Schnittpunkte \(\vec p_{1,2}\), indem Du die Geradengleichung in die der Kugel einsetzt:$$\begin{aligned} \left( \begin{pmatrix} -4\\ 2\\ 4 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\ 0 \end{pmatrix}\right)^2 &= 36 \\ 36 - 2t \cdot 10 +  10 t^2&= 36 \\ t( -20 +  10 t) &= 0 \\ \implies t_1 = 0, \quad t_2 &= 2 \\ \end{aligned} \\ p_1 = \vec x(t=t_1) = \begin{pmatrix}-4\\ 2\\ 4\end{pmatrix}, \quad p_2 = \vec x(t=t_2) = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 4\end{pmatrix}$$Da der Kugelmittelpunkt im Ursprung liegt, sind die Ortsvektoren der Punkte auch gleichzeitig die Normalenvektoren der Berührebenen der Kugeln. Damit kann man beide Ebenen \(E_{1,2}\) sofort in einer Normalform hinschreiben:$$\begin{aligned} E_1: \space \vec p_1 \vec x &= \vec p_1 \cdot \vec p_1 \\ \begin{pmatrix}-4\\ 2\\ 4\end{pmatrix} \vec x &= 36 \\ E_2: \space \vec p_2 \vec x &= \vec p_2 \cdot \vec p_2 \\ \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 4\end{pmatrix} \vec x &= 36 \end{aligned}$$Und in 3D sieht das so aus:

(klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene im Geoknecht3D)

Comments

Wie kommt man plötzlich auf p2?

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Wie kommt man plötzlich auf p2?

$$\vec p_2 = g(t_2=2) = \begin{pmatrix} -4\\ 2\\ 4 \end{pmatrix} + 2  \cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\4\\ 4 \end{pmatrix} $$

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Achso!! ! :)

Answer 2

Bestimme die Schnittpunkte von Kugel und Gerade. Da kann folgendes passieren:

1.) Es gibt genau 2 Schnittpunkte, welche die Gerade in der Kugel durchstößt

2.) Es gibt nur einen Schnittpunkt. Dann berührt die Gerde die Kugel in einem Punkt.

3.) Es gibt keinen Schnittpunkt. Aber dann wäre die Aufgabe sinnlos. Daher passiert 1.) oder 2.)

Wenn du also so dann mindestens ein Schnittpunkt berechnen konntest, bestimmst du den Richtungsvektor vom Mittelpunkt der Kugel zum Schnittpunkt. Diesen kannst du dann als Normalenvektor verwenden und den Schnittpunkt als Stützvektor. Damit hast du eine Berührebene in Normalenform erhalten.