Funktion skizzieren, def bereich, Linearfaktorzerlegung

Question

(Funktionen) Gegeben sei die Funktion \( f(x)=-2 x^{2}-14 x-24 \)
a) Ermitteln Sie den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion.
b) Zerlegen Sie die Funktion in ihre Linearfaktoren.
c) Skizzieren Sie die Funktion.
d) Wo ist die Funktion monoton wachsend, wo ist sie monoton fallend?

Aufgabe:

Answer 1

$$f(x)=-2 x^{2}-14 x-24$$

a) \(\mathbb D_f=\mathbb R\)

    Nullstellen:

$$0=-2 x^{2}-14 x-24\\ \Rightarrow 0=x^2+7x+12\\ \Rightarrow x_{12}=-3.5\pm\sqrt{12.25-12}=-3.5\pm0.5\\ \Rightarrow x_1=-4~~;~~x_2=-3$$

b)    Linearfaktoren:

$$f(x)=-2 x^{2}-14 x-24=-2\cdot(x^2+7x+12)=-2(x+3)(x+4)  $$

c)

d) Der Scheitelpunkt liegt bei x=-3.5.

Für x<-3.5 ist die Funktion monoton wachsend, für x>-3.5 ist sie monoton fallend. Das kannst du mit der 1. Ableitung nachweisen.