Sei \( A \subseteq \mathbb{R}^{n} \) eine symmetrische, konvexe und beschränkte Umgebung der \( 0, \) das heißt:
(a) \( A=\{-x: x \in B\} \) und
(b) \( \exists b_{1}, b_{2}>0:\left[-b_{1}, b_{1}\right]^{n} \subseteq A \subseteq\left[-b_{2}, b_{2}\right]^{n} \) und
(c) \( \forall x, y \in A, \lambda \in[0,1]: \lambda x+(1-\lambda) y \in A \)
Warum ist dann die Abbildung \( \|\cdot\|_{A}: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}, \) welche durch
$$ \|x\|_{A}:=\left\{\begin{array}{cc} \sup \left\{\mu>0: \frac{1}{\mu} x \notin A\right\} & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{array}\right. $$
für alle \( x \in \mathbb{R}^{n} \) definiert ist, eine Norm auf \( \mathbb{R}^{n} ? \)
vielen Dank im Voraus!
