Ganzrationale Funktionen - wahr oder falsch?

Question

Überprüfe, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründe deine Antwort oder gib ein Gegenbeispiel an.

A) Jede Potenzfunktion ist eine ganzrationale Funktion.

B) Alle linearen und quadratischen Funktionen sind ganzrationale Funktionen.

C) Sämtliche Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten führen zu ganzrationalen Funktionen.

D) Additionen und Subtraktionen von ganzrationalen Funktionen ergeben ebenfalls ganzrationale Funktionen.

E) Jede Potenzfunktion, die entlang der x-Achse verschoben wird, ist keine Potenzfunktion mehr, aber eine ganzrationale Funktion.

Answer 1

Definition. Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsterm sich in der Form

        a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ

darstellen lässt und dabei n eine natürliche Zahl ist und a₀, ..., a_n reelle Zahlen sind.

Beispiele. Ganzrationale Funktionen sind

• f(x) = x⁵

  Dabei ist n = 5, a₀ = a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = 0 und a₅ = 1.

• f(x) = 1 - 2x⁴ - 3x⁵ + x¹⁷

  Dabei ist n=17, a₀ = 1, a₁ = a₂ = a₃ = 0, a₄ = -2, a₅ = -3, a₆ =...= a₁₆ = 0 und a₁₇ = 1.

• f(x) = (x+8)(x-4)²

  Das sieht man durch ausmultiplizieren.

• f(x) = x·sin(3) + e² x² 
  

Keine ganzrationalen Funktionen sind

• f(x) = (x² + 2x + 1)/(x+1)
• f(x) = sin(x)
• f(x) = 2^x
• f(x) = 3x² - 2x + 5 - 7x^-1 + 4x^-2
• f(x) = √(x²)