Die strenge Zeilenstufenform (SZSF) hast du richtig bestimmt.
Dann ist eine Möglichkeit der sogenannte "-1 Trick":
Man füllt die Matrix mit Nullzeilen auf, oder streicht Nullzeilen weg bis eine quadratische Matrix entsteht. Bei dir muss also eine hinzugefügt werden.
⎝⎜⎜⎜⎛1000010012000010⎠⎟⎟⎟⎞ Anschließend tauscht man die Zeilen so, dass die "Pivot-Einser" auf der Diagonalen liegen:
⎝⎜⎜⎜⎛1000010012000001⎠⎟⎟⎟⎞ Jetzt gehst du die Diagonale ab. Überall wo eine 0 steht kommt ein -1 hin. In Z/3Z gilt -1=2
⎝⎜⎜⎜⎛1000010012−100001⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎛1000010012200001⎠⎟⎟⎟⎞ Die Spalten mit der -1 sind die Basisvektoren des Kerns.
Hier ist die Basis also ((1,2,2,0)T).