Partielle Integration: Überlegungsfehler

Question

Aufgabe:

Partielle Integration von arccos(2x)

Mein Vorschlag:

u' = 1 v = arccos(2x)

u = x v =1/Wurzel(1-4x^2)

-> x * arccos(2x) - Integrall(x/Wurzel(1-4x^2)

-> Wir haben hier eine "Ansatz-Korrektur-Regel" kennengelernt, welche wir einsetzen müssen:

x/wurzel(1-4x^2) -> x = innere Funktion und (1-4x^2)^-1/2 = äussere Funktion

Ich muss irgendwie hier einen Ansatz wählen und dann korrigieren, jedoch weiss ich nicht ganz genau, ob ich es richtig mache: A(x) = Aufleitung d. äusseren verkettet mit innerer Fkt: 1 * 2 * (1-4x^2)^1/2

Wenn ich die A(x) ableite bekomme ich : -8 * x/(1-4x^2)^1/2 -> Korrektur wäre -1/8 * A(x) also hätte ich für

Integrall(x/Wurzel(1-4x^2) = -1/4 * (1-4x^2)^1/2

Also: x * arccos(2x) + 1/4 * (1-4x^2)^1/2

Die Lösung sagt mir aber x * arccos(2x) - 1/2 * (1-4x^2)^1/2 ... Was mache ich falsch?

Liebe Grüsse

Answer 1

Hallo

 du musst schon genauer sagen  was eure Ansatzkorrektur Regel ist. ich kenne das so:

 (√f(x))'=f'(x)*1/(2√f(x)) deshalb kann man f'(x)*1/(2√f(x)) direkt integrieren.

bei dir  fehlt im Nenner die 2 und statt f'(x)=-8x steht da nur x,  du musst also mit dem Kehrwert von -8/2 korrigieren also mit -1/4

einfacher du ergänzt direkt zu  f'(x)*1/(2√f(x)) also statt x/√(1-4x^2) = -1/4* -8x/(2*(1-4x2)^1/2

 oder du musst deine "Ansatzkorrekturregel" aufschreiben.

Gruß lul

Comments

Woher kriegst du diese 2 im Nenner?

Es wäre bisschen kompliziert die Ansatzregel hier zu erklären, aber kurz:

Wenn wir zB Integrall(x^-3 * cos(x^-2) dx haben

suchen wir einen Ansatz > A(x) = sin(x^-2)

dann wäre A'(x) = cos(x^-2) * -2x^-3

Korrektur zwischen: x^-3 * cos(x^-2) und cos(x^-2) * -2x^-3  wäre ->

1/2 * A(x) -> 1/2 * sin(x^-2) wäre dann meine Aufleitung.

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Hallo

 das genau ist, was ich hingeschrieben habe. verstehst du das auch so?

also einfach erst mal*(1-4x^2)^1/2 differenzieren gibt -4x/(1-4x^2)^1/2 also gegenüber deinem Ausdruck  die -4 also musst du deinen Ausdruck mit -1/4 korrigieren. also -1/4(1-4x^2)1^/2 ist die "Aufleitung"

Gruß lul