Analysis: Wir definieren die Funktionen sinh und cosh …

Question

Aufgabe:

Wir definieren die Funktionen $\sinh , \cosh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ durch

$$\begin{array}{l} \sinh (x):=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right) \\ \cosh (x):=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right) \end{array}$$
Rechnen Sie nach:
a.) $\sinh ^{\prime}(x)=\cosh (x), \cosh ^{\prime}(x)=\sinh (x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$
b.) $\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$ für alle $x \in \mathbb{R} .$ Was bedeutet dies geometrisch, vergleichen Sie diese Aussage mit dem trigonometrischen Pythagoras.
c.) Zeigen Sie, dass sinh auf $\mathbb{R}$ und cosh auf $[0, \infty)$ Umkehrfunktion besitzen. Diese werden gewöhnlich mit arsinh und arcosh bezeichnet.

Wie soll ich hier vorgehen?

Comments

Welche Aufgabe meinst du?

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Die a) Beispielsweise, wir wissen dass sinh´(x)= cosh(x) ist, aber wie kann ich das rechnerisch zeigen?

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Du hast doch die definition gegeben:

sinh(x)=1/2(e^x-e^(-x))

Wie man 1/2(e^x-e^(-x)) ableitet, weißt du vermutlich bereits aus der Schule. Du leitest das ab und vergleichst das mit der Definition, die du für cosh(x) gegeben hast.

Answer 1

Aloha :)$$\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\quad;\quad\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$$zu a) Ableitungen:

$$\sinh'(x)=\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^{x}-e^{-x}\cdot(-1)}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x)$$$$\cosh'(x)=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^{x}+e^{-x}\cdot(-1)}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh(x)$$

zu b) "Pythagoras":

$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^2$$$$=\frac{e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2e^xe^{-x}+e^{-2x}}{4}=\frac{4e^xe^{-x}}{4}=1$$

Geometrisch bedeutet dies, dass sich die Hyperbel $x^2-y^2=1$ durch$$\binom{x}{y}=\binom{\cosh(x)}{\sinh(x)}$$parametrisieren lässt.

zu c) Umkehrfunktion:

Da $\cosh(x)\ge1$ ist, wird die Definitionsmenge der Umkehrfunktion $\mathbb D=\mathbb R^{\ge1}$ sein:$$\left.x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.2x=e^{y}+e^{-y}\quad\right|\;\cdot e^y$$$$\left.2x\,e^y=e^{2y}+1\quad\right|\;-2x\,e^y$$$$\left.e^{2y}-2x\,e^y+1=0\quad\right.$$$$\left.e^{2y}-2x\,e^y+x^2-x^2+1=0\quad\right.$$$$\left.\left(e^y-x\right)^2-x^2+1=0\quad\right|\;+x^2-1$$$$\left.\left(e^y-x\right)^2=x^2-1\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$Da die $\cosh$-Funktion achsensymmetrisch ist, wählen wir für die Umkehrfunktion den Zweig rechts von der $y$-Achse, also hier die positive Wurzel:$$\left.e^y-x=\sqrt{x^2-1}\quad\right|\;+x$$$$\left.e^y=x+\sqrt{x^2-1}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.y=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\quad\right.$$$$\operatorname{arcosh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\quad;\quad x\ge1$$

Die Umkehrfunktion von $\sinh(x)$ ergibt sich nach ähnlicher Rechnung, wobei allerdings weniger Besonderheiten zu beachten sind. Ich führe die Rechnung hier nicht mehr explizit vor, wenn du Hilfe dazu benötigst, melde dich bitte einfach nochmal. Das Ergebnis ist:$$\operatorname{arsinh(x)}=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$

Comments

Folgern Sie, dass es für jeden Punkt (x,y) auf der Hyperbel H = {(x,y) ∈ R² | x²−y²= 1} eine eindeutig bestimmte reelle Zahl t gibt, sodass (x,y) = (cosh(t),sinh(t)).
e.) Berechnen Sie die Ableitungen von arsinh und arcosh mit Hilfe der Umkehrregel.

@Tschakabumba wie müsste man bei diesen Aufgaben vorgehen? Zu der selben aufgabe

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Schau mal bitte, genau das habe ich unter (b) geschrieben. Die Hyperbel$$x^2-y^2=1$$kann wegen$$\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1$$durch$$x=\cosh(t)\quad;\quad y=\sinh(t)$$dargestellt werden.

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 Also das ist dann die Antwort auf e)?

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Die (e) ist etwas fummelig. Da geht es ja darum, die Umkehrfunktionen von $\operatorname{arsinh}$ und $\operatorname{arcosh}$ zu bestimmen.

Kannst du das vielleicht als eigene Frage einstellen? Das könnte nämlich auch für andere interessant sein und dann finden sie die Antwort hier im Forum leichter.

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und dann finden sie die Antwort hier im Forum leichter. 

Was bringt dich auf die Idee, eine weitere Antwort würde erstens überhaupt gesucht und zweitens leichter gefunden als eine schon vorhandene ?

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Es geht hier um eine neue Aufgabe, die nicht in der ursprünglichen Frage enthalten war. Und wie du hier siehst...

https://www.mathelounge.de/733940/analysis-cosh-sinh-aufgabe-nicht?s…

hat jemand anderes genau diese Frage aktuell gestellt.

Ich schaue auch nicht nach, ob eine Frage bereits gestellt wurde oder nicht. Das kann ein Bot besser und schneller als ich. Ich habe genug mit der Beantwortung von aktuellen Fragen zu tun ;)

Answer 2

Bei a) einfach Ableiten. Die Ableitung von  von 0,5*(e^x + e^(-x)) gibt

0,5*(e^x - e^(-x))  also aus cosh wird sinh etc.