Hyperbelfunktionen | Für alle x ∈ ℝ gilt: sin x= -i * sinh(ix) und cos x= cosh(ix)

Question

Gegeben sind die Hyperbelfunktionen für z ∈ ℂ (sinh z und cosh z).

Aufgabe:

Für alle x ∈ ℝ gilt: \(sin x= -i * sinh(ix)\) und \(cos x= cosh(ix)\)

Problem/Ansatz:

Wäre über Hilfe dankbar. Habe kein Ansatz

Answer 1

Benutze zum Beispiel

$$e^{ix}=\cos x + i\sin x \text{ für } x\in \mathbb{R}$$

Also mit \(\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}\) erhälts du

$$\sinh (ix) =\frac{\cos x +i\sin x -(\cos x - i\sin x)}{2} = i\sin x$$

Daraus folgt:

$$-i\sinh (ix) = \sin x$$

\(\cosh (ix)\) geht analog.

Comments

Hat mir sehr geholfen, danke :)

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Gern geschehen. :-)