Wie kann ich beweisen, dass cosh²(x) - sinh²(x) = 1 ist (identisch)?

Question

Wie kann ich beweisen, dass cosh²(x) - sinh²(x) ≡ 1 ist.

cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2

sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2

Comments

Vgl. auch hier: https://www.mathelounge.de/71164/sinushyperbolicus-und-kosinushyperbolicus-beh-cosh-sinh

Answer 1

Hi, eigentlich hast Du den Ansatz schon gebracht:

((e^x + e^-x) / 2)^2 - ((e^x - e^-x) / 2)^2

= 1/4(e^{2x} + 2e^{x-x} + e^{-2x})   -  1/4(e^{2x} - 2e^{x-x} + e^{-2x})

= 1/4(e^{2x} + 2 + e^{-2x}     -    e^{2x} + 2 - e^{-2x})

= 1/4 (4)

=1

 

Grüße

Comments

Super, danke. Diese Regeln zur Umstellung von Gleichungen (und so...) liegen mir leider so gar nicht. Ich weiß nie, wie man darauf kommt. Aber wenn ich es lese, wird es nachvollziehbar. :)

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Binomische Formel ist hier das Stichwort ;).

Gerne