Berechne die Größe des Winkels

Question

Aufgabe
Durch die Punkte A (3 | 2 | 2), B (1 | 0 | 4),
C (-3 | -2| 5) ist ein Dreieck definiert.
Berechne die Größe des Winkels α im Dreieck ABC

Problem/Ansatz:
Ich weiß nicht wie ich die beiden Vektoren u und V Berechnen soll, die ich dann ja für die Formel später brauche.

:)

Answer 1

Berechne die Größe des Winkels α im Dreieck ABC

Der Winkel α liegt bei der Ecke A des Dreiecks. Deshalb:

        \(\vec{u} = \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}\)

        \(\vec{v} = \vec{AC}\)

Comments

Dankeschön!

Woher weiß man denn, dass man für Vektor U AB berechnen muss und für V AC und nicht andersrum?

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dass man für Vektor U AB berechnen muss und für V AC

Muss man nicht.

und nicht andersrum?

Geht auch.

Wichtig ist, dass du da konsequent bist, also nicht \( \vec{AB}\) und \(\vec{CA}\) verwendest.

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Ok, vielen dank :) !

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        \(\cos \alpha = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\)

Im Zähler steht ein Skalarprodukt. Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz

        \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\).

Im Nenner werden reelle Zahlen multipliziert, deshalb gilt auch dort das Kommutativgesetz. Es ist also egal, welchen der beiden Vektoren \( \vec{AB}\) und \( \vec{AC}\) du als \(\vec u\) und welchen du als \(\vec v\) verwendest.

Wenn du aber \(\vec{CA}\) anstatt \(\vec{AC}\) verwendest, dann ändert sich im Zähler das Vorzeichen. Das führt dazu, dass du dann nicht \(\alpha\) berechnen würdest, sondern den Nebenwinkel \(180° - \alpha\).

Answer 2

Winkel zwischen 2 Vektoren

(a)=arccos Betrag|a*b/(|a|*|b|)

a*b=ax*bx+ay*by+at*bz

Betrag |a|=Wurzel(ax²+ay²+az²)

Betrag |b|=Wurzel(bx²+by²+bz²)

Geradebgleichnung von A nach B  Geradengleichung g: x=a+r*m  mit r=1

AB (1/0/4)=(3/2/2)+r*(mx/my/mz)

x-Richtung: 1=3+1*mx → mx=(1-3)/1=-2

y-Richtung: 0=2+1*my → my=(0-2)/1=-2

z-Richtung: 4=2+1*mz → mz=(4-2)/1=2

Gerade AB x=(3/2/2)+r*(-2/-2/2)

genau so mit Gerade A nach C

(-3/-2/5)=(3/2/2)+1*(mx/my/mz)

mx=(-3-3)/1=-6

my=(-2-2)/1=-4

mz(5-2)/1=3

Gerade AC x=(3/2/2)+r*(-6/-4/3)

m1(-2/-2/2)

m2(-6/-4/3)

Winkel zwischen diesen beiden Richtungsvektoren

(a)=arccos|m1*m2/(|m1|*|m2|)

Selbe Rechnung Gerade von B nach C

(-3/-2/5)=(1/0/3)+1*(mx/my/mz)