Man berechne Ex und Vx , Uniform Zufallsvariable

Question

Es sei $$X  ∼ Uni(a, b)$$ eine uniform auf [a, b] verteilte Zufallsvariable,
a < b.

Berechnen Sie $$\mathbb{E}(X)$$ und $$\mathbb{V}(X)$$.

Wisst ihr wie man da vorgeht?

Answer 1

Aloha :)

Uniform verteilt heißt, dass die Dichtefunktion überall im Intervall denselben Wert hat. Im Intervall \([a;b]\) muss dieser Wert gleich \(\frac{1}{b-a}\) sein, damit die gesamte Fläche unter der Dichtefunktion auf Eins normiert ist. Das heißt:$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}\frac{1}{b-a} &;& a\le x\le b\\0 &;& \text{sonst}\end{array}\right.$$Der Erwartungswert ist daher:$$E(X)=\int\limits_a^bxf(x)\,dx=\int\limits_a^b\frac{1}{b-a}\,x\,dx=\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^2}{2}\right]_a^b=\frac{1}{b-a}\left(\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2}\right)$$$$\phantom{E(X)}=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right)=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{1}{2}(b-a)(b+a)=\frac{a+b}{2}$$Die Varianz ist etwas komplizierter zu berechnen:$$V(X)=E(X^2)-E^2(X)=\int\limits_a^bx^2f(x)dx-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$$$$\phantom{V(X)}=\int\limits_a^b\frac{1}{b-a}x^2dx-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^3}{3}\right]_a^b-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$$$$\phantom{V(X)}=\frac{1}{b-a}\left(\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}\right)-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{3}\frac{b^3-a^3}{b-a}-\frac{(a+b)^2}{4}$$$$\phantom{V(X}=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)-\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2)$$$$\phantom{V(X}=\frac{1}{12}(4a^2+4ab+4b^2)-\frac{1}{12}(3a^2+6ab+3b^2)=\frac{1}{12}(a^2-2ab+b^2)$$$$\phantom{V(X)}=\frac{(a-b)^2}{12}$$