a)
\(a_1\) ist gegeben. Damit ist$$a_2=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{7}{a_1}\right)=\frac{1}{2}\left(7+\frac{7}{7}\right)=4$$ analog geht das dann immer weiter.
b)
Du musst zeigen, dass \(0\leq a_n\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt. Das geht am besten induktiv:
Für \(n=1\) hast du \(a_{1}=7 \geq 0\).
Es exisitert also mindestens ein \(n\in \mathbb{N}\), das die Annahme erfüllt. Nun gehen wir zum Induktionsschritt über:$$0\leq a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{7}{a_{n}}\right) \Leftrightarrow 0\leq a_n+\frac{7}{a_n} \Leftrightarrow 0\leq \underbrace{a_n^2}_{\geq 0}+7 $$ damit hast du die Beschränktheit induktiv bewiesen.
c)
Das überlasse ich mal dir, damit du auch mal einen Induktionsbeweis formulieren kannst.
d)
Ausgehend von den Sachen, die du in b) und c) gezeigt hast, kannst du nun, da wegen der Konvergenz \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a\) gelten muss, eine Fixpunktgleichung aufstellen. Die da lautet:$$a=\frac{1}{2}\left(a+\frac{7}{a}\right)$$ hierbei ist \(a\) der Grenzwert der Folge.
