Hi, ich soll zeigen, dass durch folgenden Ausdruck eine Norm definiert ist:
$$\vert\vert x,y \vert\vert=\sqrt{3x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+7x^{2}_{3}}$$
könntet ihr mir vielleicht sagen, ob meine bisherigen Überprüfungen so stimmen und mir ggf. bei der Dreiecksungleichung helfen?
1) Definitheit:
$$0=\vert\vert x,y \vert\vert=\sqrt{3x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+7x^{2}_{3}}$$
⇔$$0={3x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+7x^{2}_{3}}$$
Die Summe wird nur Null, wenn jeder ihrer Summanden Null wird, d.h. x1=x2=x3=0
2)Homogenität:
$$\vert\vert\lambda x\vert \vert=\sqrt{3(\lambda x)^{2}_{1}+(\lambda x)^{2}_{2}+7(\lambda x)^{2}_{3}}$$
⇔$$\vert\vert\lambda x\vert \vert=\sqrt{\lambda}\sqrt{3( x)^{2}_{1}+(x)^{2}_{2}+7( x)^{2}_{3}}$$
3)Dreiecksungleichung:
Hier komme ich nicht wirklich weiter.....
