Eigenschaften einer Norm nachweisen?

Question

Hi, ich soll zeigen, dass durch folgenden Ausdruck eine Norm definiert ist:

$$\vert\vert x,y \vert\vert=\sqrt{3x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+7x^{2}_{3}}$$

könntet ihr mir vielleicht sagen, ob meine bisherigen Überprüfungen so stimmen und mir ggf. bei der Dreiecksungleichung helfen?

1) Definitheit:

$$0=\vert\vert x,y \vert\vert=\sqrt{3x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+7x^{2}_{3}}$$

⇔$$0={3x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+7x^{2}_{3}}$$

Die Summe wird nur Null, wenn jeder ihrer Summanden Null wird, d.h. x1=x2=x3=0

2)Homogenität:

$$\vert\vert\lambda x\vert \vert=\sqrt{3(\lambda x)^{2}_{1}+(\lambda x)^{2}_{2}+7(\lambda x)^{2}_{3}}$$

⇔$$\vert\vert\lambda x\vert \vert=\sqrt{\lambda}\sqrt{3( x)^{2}_{1}+(x)^{2}_{2}+7( x)^{2}_{3}}$$

3)Dreiecksungleichung:

Hier komme ich nicht wirklich weiter.....

Answer 1

Die Homogenität ist nicht ganz richtig, sollte so sein:$$\vert\vert\lambda x\vert \vert=\sqrt{3(\lambda x)^{2}_{1}+(\lambda x)^{2}_{2}+7(\lambda x)^{2}_{3}}=\sqrt{\lambda^2(3x_1^2+x_2^2+7x_3^2)}=\sqrt{\lambda^2}\sqrt{3x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+7x^{2}_{3}}=|\lambda|\sqrt{3x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+7x^{2}_{3}}$$ Für die Dreiecksungleichung würde ich die Binome ausmultiplizieren und alle gemischten Terme wegstreichen.

Comments

Hallo nochmal, ich dachte eigentlich ich hätte die Aufgabe fertig, aber ich habe wohl doch einen Fehler gemacht. Muss ich die Binome in der ursprünglichen Form ausmultiplizieren, oder erst nachdem ich die Dreiecksungleichung angewendet habe?